On functions of \(n\) complex variables.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On functions of \(n\) complex variables.
zbMATH Open document ID: 26.0456.02
DOI: 10.1007/BF02402869
author: P. Cousin
published in: Acta Mathematica
publication date: 1895-01-01T00:00:00Z
review text: Die vorliegende Arbeit bezeichnet einen wesentlichen Fortschritt in der allgemeinen Theorie der analytischen Functionen mehrerer Variabeln. Für Functionen einer Veränderlichen gilt bekanntlich der Satz von Weierstrass, nach welchem eine Function, die nur die eine wesentlich singuläre Stelle \(\infty\) besitzt, als Quotient zweier ganzen Functionen (also als Quotient zweier beständig convergirenden Potenzreihen) darstellbar ist. Der entsprechende Satz für Functionen von zwei Veränderlichen ist mit recht complicirten Hülfsmitteln von \textit{H. Poincaré} [Acta Math. 2, 97--103 (1883; JFM 15.0358.01)] bewiesen worden. Herrn Cousin ist es gelungen, durch verhältnismässig einfache Betrachtungen den allgemeinen Satz zu beweisen: ``Eine eindeutige analytische Function von beliebig vielen Veränderlichen lässt sich, wenn sie im Endlichen nur ausserwesentliche singuläre Stellen besitzt, darstellen als Quotient zweier ganzen Functionen, welche nur an den Unbestimmtheitsstellen der darzustellenden Function gleichzeitig verschwinden.'' Dieser Satz oder vielmehr ein noch allgemeinerer, der ihn als speciellen Fall enthält, erscheint bei Herrn Cousin in enger Verbindung mit einem anderen Satze, der als Übertragung des Mittag-Leffler'schen Theoremes auf Functionen mehrerer Variabeln angesehen werden kann. Um den Gang der Untersuchung kurz angeben zu können, muss ich einige vom Verfasser gebrauchte Bezeichnungen vorausschicken. Es handelt sich zunächst um Functionen der \(n+1\) complexen Variabeln \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\), \(y\). Jedes Wertsystem \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\) wird als ein ``Punkt \(x\)'' und dem entsprechend eine Function der genannten \(n+1\) Variabeln kurz mit \(f(x, y)\) bezeichnet. Die Function \(f(x, y)\) sei nun regulär, wenn \(x\) im Innern eines gewissen Bereiches \(\Gamma\) und \(y\) im Innern eines gewissen Bereiches \(\gamma\) liegt, welcher letztere in der Ebene der complexen Veränderlichen \(y\) durch eine geschlossene Curve begrenzt sei. Der Verf…
Mathematics Subject Classification ID: 32A10
zbMATH DE Number: 2678763
zbMATH Keywords: Cousin problems
Wikidata QID: Q56385755
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q3754585
description: scientific article; zbMATH DE number 2678763