Contributions to the representation of the Bernoulli theorem, the gamma function, and the Laplace integral.
Die vorliegende Arbeit zerfällt in zwei Teile, von denen der erste (Abschn. I-VI) historischer, der zweite (Abschn. VII, VIII) analytischer Natur ist. --- Abschnitt I weist auf den fructificirenden Einfluss der Entwickelung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf diejenige der Analysis hin und präcisirt den Zweck der historischen Untersuchung des ersten Teils. In Abschnitt II wird sodann die philosophische, und analytische Begründung des Gesetzes der grossen Zahlen nach Bernoulli's Ars conjectandi gegeben. Die Abschnitte III, IV, V sind den Erfolgen Moivre's, dem Bernoulli'schen Theorem einen bestimmten mathematischen Ausdruck zu verleihen, gewidmet, stellen das Summationsverfahren jenes Mathematikers zur Bestimmung eines Näherungswertes für den Binomialcoefficienten dar, beleuchten die Verdienste Moivre's und Stirling's um die Darstellung eines Näherungswertes für \(\operatorname{Log}\Gamma(x)\) und geben die Moivre'sche Darstellung des Laplace'schen Integrals. Abschnitt VI zeigt die Auffindung einer Summationsformel durch Maclaurin und Euler, die in hinreichend allgemeiner Weise gestattet, dem Bernoulli'schen Theorem jenes analytische Gewand zu geben, dessen Schöpfer Laplace ist. Den Schluss dieses Abschnittes bildet eine Zusammenstellung der gewonnenen historischen Resultate. --- Der analytische Teil enthält im Abschnitte VII eine Untersuchung des Verfassers über eine Verallgemeinerung der von Serret gegebenen, eleganten Entwickelung eines Näherungswertes für \(\Gamma(x+1)\) aus der Formel von Wallis und zeigt im Abschnitte VIII, dass der gebräuchliche Laplace'sche Ausdruck für das Bernoulli'sche Theorem, wonach: \[ W = \frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^\gamma e^{-t^2}dt + \frac{e^{-\gamma^2}}{\sqrt{2\pi\mu pq}},\text{ wobei:}\quad \gamma = e\sqrt{\frac1{2\mu pq}}, \] ist, in die einfachere Form: \[ W = \frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^\delta e^{-t^2}dt,\qquad\text{ wobei }\delta = (e+\frac12)\sqrt{\frac1{2\mu pq}}, \] gebracht werden kann; dabei sind mit \(p\), \(q\) die einfachen und constanten, Wahrscheinlichkeiten zweier entgegengesetzten Ereignisse \(\varepsilon\), \(\varepsilon'\) bezeichnet, mit \(W\) aber die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer sehr grossen Anzahl von \(\mu=m+n\) Versuchen das Ereignis \(\varepsilon\) in einer Anzahl von \(m\) Malen, wobei \(m\) zwischen \(\mu p-l\) und \(\mu p+l\) liegt, eintreffe (vorausgesetzt, dass für ein \(\mu p\)-maliges Eintreffen des Ereignisses \(\varepsilon\) das Maximum von Wahrscheinlichkeit vorhanden). --- In einem Anhange finden sich neben dem Quellenverzeichnis einige Anmerkungen, die den Text allzu störend unterbrochen hätten.
the history and philosophical importance of parts of analysis
application of Laplace integrals to the gamma function
scientific article; zbMATH DE number 2681888