Untersuchungen über die reellen Nullstellen der Integrale linearer Differentialgleichungen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Untersuchungen über die reellen Nullstellen der Integrale linearer Differentialgleichungen.
zbMATH Open document ID: 25.0522.01
DOI: 10.1007/BF01444165
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1893-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/157655
review text: Es handelt sich in dieser Arbeit um die Frage, ob die Integrale einer linearen Differentialgleichung ``oscillatorisch'' sind, d.h. für unbegrenzt wachsende positive Werte des Arguments unendlich oft verschwinden können. 1. Sind in der Differentialgleichung \(2^{\text{ter}}\) Ordnung \[ y'' + Py' + Qy = 0 \] \(P\), \(Q\), \(P'\) für grosse Werte von \(x\) endliche und stetige Functionen, so ist jedes Integral \(y\), welches samt seinen ersten beiden Ableitungen für grosse Werte von \(x\) endlich und stetig ist, oscillatorisch, wenn \(\lim\limits_{x=+\infty}((Q-\frac12P'+\frac14P^2)x^2)>\frac14\), dagegen nicht oscillatorisch, wenn dieser Ausdruck \(<\frac14\) oder \(=\frac14\), im letzteren Falle aber für grosse \(x\) die Ungleichung \[ (Q - \frac12P' - \frac14P^2) < \frac1{2x^2} \] besteht. 2. Ist in der binomischen Differentialgleichung \[ y^{(n)} + yf(x) = 0 \] \(f(x)\) für grosse Werte von \(x\) endlich und stetig, und ist \[ \lim_{(x=+\infty)} x^\sigma f(x) > 0\qquad(n\geqq2\sigma > 0), \] so ist bei geraden Werten von \(n\) jedes Integral, das samt seinen ersten \(n\) Ableitungen für grosse Werte von \(x\) endlich und stetig ist, ``oscillatorisch''. Bei ungeraden Werten von \(n\) bestehen für jedes nicht oscillatorische Integral die Gleichungen \[ \lim_{x=+\infty} y = \lim_{x=+\infty} y' =\cdots \lim_{x=+\infty} y^{(n)} = 0. \] Die Resultate werden auch auf die allgemeinere Gleichung von der Form \[ \frac d{dx}\left[g_{n-1}(x)\frac d{dx}\left\{g_{n-2}(x)\frac d{dx}\left( \cdots\frac d{dx}\left(g_1(x)\right)\cdots\right)\right\}\right] + yf(x) = 0 \] ausgedehnt.
zbMATH DE Number: 2681495
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2085366695
author: Adolf Kneser
description: scientific article; zbMATH DE number 2681495