Über die Irreducibilität ganzer rationaler Functionen mit ganzzahligen Coefficienten.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Irreducibilität ganzer rationaler Functionen mit ganzzahligen Coefficienten.
zbMATH Open document ID: 24.0087.03
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1892-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/148853
review text: Der Verfasser beweist in der vorliegenden Abhandlung den folgenden, für die Theorie der Gleichungen principiell wichtigen Satz: ``Wenn \(F\) eine irreducible ganze ganzzahlige Function der Variabeln \(x, y, \ldots, w, t, r, \ldots, q\) bezeichnet, so ist es stets auf unendlich viele Weisen möglich, für die Variabeln \(t, r, \ldots, q\) ganze rationale Zahlen einzusetzen, so dass dadurch \(F\) in eine irreducible Function von \(x, y, \ldots, w\) übergeht''. Der Beweis wird zunächst für den besonderen Fall durchgeführt, dass \(F\) nur von zwei Variabeln \(x\) und \(t\) abhängt, und sodann wird der allgemeine Fall auf diesen besonderen zurückgeführt. Die wesentlichen Mittel für den Beweis bilden einerseits die Puiseuxschen Entwickelungen, andererseits ein Hülfssatz, der seines interessanten, eigentümlichen Charakters wegen hier erwähnt werden möge. Derselbe lautet: Wenn jedes Element \(a_s\) der unbegrenzten Reihe \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) einen der Werte \(1, 2, 3, \ldots, a\) besitzt, wenn ferner \(m\) irgend eine ganze positive Zahl bezeichnet, so lassen sich die positiven ganzen Zahlen \(\mu^{(1)}, \mu^{(2)},\ldots, \mu^{(m)}\) stets so bestimmen, dass die \(2^{\text{m}}\) Elemente \[ a_{\mu + \varepsilon^{(1)} \mu^{(1)} + \varepsilon^{(2)} \mu^{(2)} + \cdots + \varepsilon^{(m)} \mu^{(m)}} \quad \quad (\varepsilon^{(i)} = 0, 1; \; i = 1, 2, \ldots, m) \] für unendlich viele Indices \(\mu\) gleich der nämlichen Zahl (aus der Reihe \(1, 2, \ldots, a\)) sind. Nachdem der Verfasser den Satz auf solche ganze rationale Functionen ausgedehnt hat, deren Coefficienten einem beliebigen algebraischen Zahlenkörper angehören (wobei die Irreducibilität eben auf diesen Zahlenkörper zu beziehen ist), geht er dazu über, die gewonnenen Resultate auf die Theorie der Gleichungen anzuwenden. Von den sich hierbei ergebenden Sätzen mögen beispielsweise die folgenden herausgehoben werden, deren principielle Bedeutung unmittelbar einleuchtet: ``Es giebt unbegrenzt viele Gleichungen \(n^{\t…
Mathematics Subject Classification ID: 14-XX
zbMATH DE Number: 2684679
zbMATH Keywords: irreducibility
zbMATH Keywords: entire rational functions
zbMATH Keywords: integral coefficients
MaRDI profile type: Publication
author: David Hilbert
description: scientific article; zbMATH DE number 2684679