Über die Irreducibilität ganzer rationaler Functionen mit ganzzahligen Coefficienten.
Der Verfasser beweist in der vorliegenden Abhandlung den folgenden, für die Theorie der Gleichungen principiell wichtigen Satz: ``Wenn \(F\) eine irreducible ganze ganzzahlige Function der Variabeln \(x, y, \ldots, w, t, r, \ldots, q\) bezeichnet, so ist es stets auf unendlich viele Weisen möglich, für die Variabeln \(t, r, \ldots, q\) ganze rationale Zahlen einzusetzen, so dass dadurch \(F\) in eine irreducible Function von \(x, y, \ldots, w\) übergeht''. Der Beweis wird zunächst für den besonderen Fall durchgeführt, dass \(F\) nur von zwei Variabeln \(x\) und \(t\) abhängt, und sodann wird der allgemeine Fall auf diesen besonderen zurückgeführt. Die wesentlichen Mittel für den Beweis bilden einerseits die Puiseuxschen Entwickelungen, andererseits ein Hülfssatz, der seines interessanten, eigentümlichen Charakters wegen hier erwähnt werden möge. Derselbe lautet: Wenn jedes Element \(a_s\) der unbegrenzten Reihe \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) einen der Werte \(1, 2, 3, \ldots, a\) besitzt, wenn ferner \(m\) irgend eine ganze positive Zahl bezeichnet, so lassen sich die positiven ganzen Zahlen \(\mu^{(1)}, \mu^{(2)},\ldots, \mu^{(m)}\) stets so bestimmen, dass die \(2^{\text{m}}\) Elemente \[ a_{\mu + \varepsilon^{(1)} \mu^{(1)} + \varepsilon^{(2)} \mu^{(2)} + \cdots + \varepsilon^{(m)} \mu^{(m)}} \quad \quad (\varepsilon^{(i)} = 0, 1; \; i = 1, 2, \ldots, m) \] für unendlich viele Indices \(\mu\) gleich der nämlichen Zahl (aus der Reihe \(1, 2, \ldots, a\)) sind. Nachdem der Verfasser den Satz auf solche ganze rationale Functionen ausgedehnt hat, deren Coefficienten einem beliebigen algebraischen Zahlenkörper angehören (wobei die Irreducibilität eben auf diesen Zahlenkörper zu beziehen ist), geht er dazu über, die gewonnenen Resultate auf die Theorie der Gleichungen anzuwenden. Von den sich hierbei ergebenden Sätzen mögen beispielsweise die folgenden herausgehoben werden, deren principielle Bedeutung unmittelbar einleuchtet: ``Es giebt unbegrenzt viele Gleichungen \(n^{\text{ten}}\) Grades mit ganzzahligen Coefficienten, deren Gruppe im Bereiche der rationalen Zahlen die symmetrische Gruppe ist''. Der entsprechende Satz wird für die alternirende Gruppe nachgewiesen. Ferner: ``Es giebt unbegrenzt viele Bereiche von bestimmtem Grade \(n\), in denen (abgesehen vom Bereiche aller rationalen Zahlen) kein Bereich niederen Grades enthalten ist''. Schliesslich bemerkt der Verfasser noch, dass mit den in der vorliegenden Abhandlung benutzten Hülfsmitteln auch der folgende Satz bewiesen werden kann: ``Wenn eine algebraische Function von \(t\) für alle rationalen, in einem beliebig kleinen Intervalle gelegenen Werte stets selber rationale Werte annimmt, so ist sie notwendig eine rationale Function''.
scientific article; zbMATH DE number 2684679