The theory of regular graphs
type: Item
instance of: scholarly article
title: The theory of regular graphs
zbMATH Open document ID: 23.0115.03
DOI: 10.1007/BF02392606
author: Jul. Petersen
published in: Acta Mathematica
publication date: 1891-01-01T00:00:00Z
review text: Die vorliegende Arbeit ist bemerkenswert insofern sie mit Erfolg versucht, neuere Principien der Invariantentheorie, die sich an die Theorie der diophantischen Gleichungen anlehnen, auf rein anschaulichem Wege klarzulegen und weiterzuführen. Der Verf. ist dabei nach eigener Angabe durch einen regen Briefwechsel mit Hrn. Sylvester sehr gefördert worden. \textit{D. Hilbert} stützt sich bei seinem ersten ``Endlichkeitsbeweise'' [Math. Ann. 33, 223--226 (1889; JFM 20.0110.01)] auf einen Gordan'schen Satz, wonach sich bei gegebenem \(n\) eine endliche Anzahl von ``Grundproducten'' \[ (x_1-x_2)^\alpha (x_1-x_3)^\beta (x_2-x_3)^\gamma \dots (x_{n-1}-x_n)^\varepsilon \] bilden lässt, sodass alle anderen Producte derselben Form aus jenen durch Multiplication zusammensetzbar sind. Der Verf. stellt sich die Aufgabe, diese Grundproducte für verschiedene Werte von \(n\) wirklich zu bilden. Man repräsentire jedes \(x\) durch einen Punkt der Ebene, jeden Factor \(x_i-x_k\) durch eine beliebige Verbindungslinie zwischen \(x_i\) und \(x_k\); beispielsweise entspricht dann dem Producte \[ (x_1-x_2)^2(x_3-x_4)^2 (x_1-x_3)(x_2-x_4)(x_1-x_4)(x_2-x_3) \] ein Viereck mit seinen Diagonalen, von dem aber zwei Gegenseiten doppelt ausgezogen sind. Da die in Rede stehenden Ausdrücke in jedem \(x\) von gleichem Grade \(\alpha\) (nämlich dem Grade der entsprechenden Invariante) sind, so laufen in jedem Punkte unserer \(n\)-Ecke gleichviel Linien zusammen, daher die Bezeichnung: ``Regulärer Graph \(G_x^n\)''. Es kommt des weiteren wesentlich darauf an, ob ein Graph primitiv ist oder nicht; im letzteren Falle kann er durch Ueberlagerung mehrerer Graphs derselben Ordnung, aber von niedrigerem Grade entstanden gedacht werden. Die Hauptaufgabe ist demnach die Bestimmung aller primitiven Graphs. Hier zeigt sich nun ein merkwürdiger Unterschied, je nachdem der Grad gerade oder ungerade ist. Bei geradem Grade giebt es nur Grundfactoren ersten oder zweiten Grades. Bei ungeradem Grade dagegen können die G…
Mathematics Subject Classification ID: 05C99
zbMATH DE Number: 2686988
Wikidata QID: Q55880805
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2686988