Remarks to the solution of quadratic congruences
type: Item
instance of: scholarly article
title: Remarks to the solution of quadratic congruences
zbMATH Open document ID: 23.0194.02
author: A. Tonelli
published in: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen
publication date: 1891-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/180329
review text: Die Auflösung der Congruenz \(x^2 \equiv R\pmod p\) lässt sich, wenn \(p\) von der Form \(4n+3\) ist, bekanntlich auf das Eulersche Kriterium \[ R^{\frac12 (p-1)} \equiv 1 \pmod p \] basiren; man findet durch Wurzelziehung \(x \equiv \pm R^{n+1}\). Der Verfasser zeigt, dass man zur Anwendung der Methode für den Fall \(p=4n+1\) nur einen Nichtrest zu kennen braucht, um durch Multiplication mit \[ N^{\frac12 (p-1)} \equiv -1 \pmod p \] eine folgende Wurzelziehung zu ermöglichen, wenn die vorhergehende \(-1\) als Resultat ergeben hatte. War \(p=2^s.\alpha+1\) (\(\alpha\) ungerade), so führen \(s\) Wurzelziehungen aus der Congruenz \(R^{p-1} \equiv 1\pmod p\) zur Bestimmung des \(x\). Die allgemeine Auflösung der Congruenz \[ x_1^2 \equiv R \pmod{p^\lambda} \] erhält man hieraus in der Form: \[ x_1 = x^{p^{\lambda-1}}.R^{\frac 1 2 (p^\lambda-2p^{\lambda-1}+1)}\pmod{p^\lambda}. \]
Mathematics Subject Classification ID: 11A07
zbMATH DE Number: 2687181
zbMATH Keywords: quadratic congruence
zbMATH Keywords: Euler's criterion
zbMATH Keywords: prime numbers
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2687181