Algebraische Reduction der Scharen bilinearer Formen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Algebraische Reduction der Scharen bilinearer Formen.
zbMATH Open document ID: 22.0169.01
published in: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften
publication date: 1890-01-01T00:00:00Z
review text: Es sei \[ f=u\varphi+v\psi=\sum^r_{i=1}\sum^s_{k=1}f_{ik}x_iy_k \] eine Schar bilinearer Formen von \((x_1,x_2,\dots,x_r)\) und \((y_1,y_2,\dots,y_s)\). Dann sind alle Determinanten, welche man aus der rechteckigen Matrize \[ (f_{ik}) \quad\quad\quad\; \left(\begin{matrix} i=1,\dots,r \\ k=1,\dots,s \end{matrix}\right) \] der Coefficienten von \(f\) bilden kann, offenbar ganze homogene Formen der Unbestimmten \(u\) und \(v\). Ist nun allgemein \(D_i\) der grösste gemeinsame Teiler aller Unterdeterminanten der \(i^{\text{ten}}\) Ordnung der Matrize \((f_{ik})\), so bilden die Teiler \(D_1,D_2,D_3,\dots\) eine Reihe homogener ganzer Formen, von denen jede ein Teiler der folgenden ist. Setzt man also allgemein \(D_i=D_{i-1}\theta_i\), so erhält man auf rationalem Wege die folgende Zerlegung jener Formen \(D_i\): \[ D_i=\theta_1\theta_2\dots\theta_i \quad\quad\quad (i=1,2,\dots). \] Ist nun die Matrize \((f_{ik})\) für unbestimmte \(u\), \(v\) genau vom Range \(\tau\) d. h. ist \(\Theta_{\tau}\) die letzte der Formen \(\Theta\), welche nicht identisch verschwindet, so bleiben die \(\tau\) ganzen homogenen Functionen von \(u\), \(v\) \[ \theta_1(u,v),\dots,\theta_{\mu}(u,v) \] offenbar bei einer jeden linearen Transformation der Variabeln \(x_i\), \(y_k\) ungeändert, sie bilden also für das Formenpaar \([\varphi,\psi]\) ein System von Invarianten. Ist nun die Anzahl beider Variabeln dieselbe, etwa gleich \(r\), und ist ferner die Determinante \(| f_{ik}|\) der Formenschar nicht identisch Null, d. h. ist auch \(\tau=r\), so ist wie bereits in der Weierstrass'schen Abhandlung vom Jahre 1868 (Berl. Ber. 310-338, F. d. M. I. 54, JFM 01.0054.04) nachgewiesen wurde, das oben aufgestellte Invariantensystem ein vollständiges, d. h. zwei Formenpaare \([\varphi,\psi]\) und \([\varphi',\psi']\) sind dann, und nur dann, simultan in einander transformirbar, wenn diese Invarianten für beide übereinstimmen. Sind aber jene speciellen Voraussetzungen nicht erfüllt, so treten zu den oben …
zbMATH DE Number: 2689354
MaRDI profile type: Publication
author: Leopold Kronecker
description: scientific article; zbMATH DE number 2689354