Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen. Ausgearbeitet und vervollständigt von Robert Fricke. Erster Band. Grundlegung der Theorie.
Das vorliegende Werk lässt sich kurz charakteristiren als eine erweiterte Fortsetzung der bekannten ``Vorlesungen über das Ikosaender'', in denen sein Erscheinen bereits in Aussicht gestellt worden war. Diesmal aber hat Herr Klein die Ausarbeitung und Vervollständigung seiner akademischen Vorträge nicht selbst übernommen, sondern Herrn R. Fricke übertragen, dem die Lösung der schwierigen, aber dankbaren Aufgabe: die Kleinsche Theorie der elliptischen Modulfunction in ausführlicher und übersichtlicher Weise darzustellen, durchaus gelungen ist, wie dies auch Herr Klein selbst anerkannt hat; und Herr Fricke darf für sich das Verdienst in Anspruch nehmen, ein bisher schwer zugängliches aussichtsreiches Gebiet der modernen Analysis dem Verständnisse eines grösseren Kreises erschlossen zu haben. Wie bei den Ikosaedervorlesungen ist das Mass specifischer Vorkenntnisse möglichst gering bemessen worden. Dieser durchaus zu billigende Grundsatz hat in Verbindung mit einer Darstellung, die zwischen zu grosser Knappheit des Ausdrucks und überflüssiger Breite eine glückliche Mitte innehält, bewirkt, dass die Theorie der Modulfunctionen zwei starke Bände füllt (der zweite Band ist im Sommer 1892 erschienen s. JFM 24.0412.01). Deshalb möchte der Referent darauf hinweisen, dass Herr Fricke in der Vorrede zum zweiten Bande dankenswerte Fingerzeige zur Erleichterung des Studiums des umfangreichen Werkes gegeben hat. Der erste Abschnitt des ersten Bandes beginnt im ersten Capitel mit Untersuchungen über die Invarianten der binären biquadratischen Form, deren Endziel ist, verschiedene Normalformen des elliptischen Integrales erster Gattung herzuleiten und zu charakterisiren. Als solche Normalformen treten auf die Weierstraßsche, die Legendresche und eine mit dieser in engem Zusammenhang stehende, welche mit einem vielleicht nicht ganz glücklich gewählten Namen als Riemann'sche Normalform bezeichnet wird. Es wird noch gezeigt, dass zwischen den hierbei auftretenden ``rationalen Invarianten'' \(J, \mu, \lambda\) Gleichungen bestehen, welche den Typus der Gleichungen der regulären Körper haben. ``Transcendente Invarianten'' sind die Perioden des Integrals erster Gattung, welche im zweiten Capitel studirt werden. Die gehörig normirte Periode \(\varOmega\) ist eine Function der absoluten Invariante \(J\) allein, welche einer linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung genügt, deren Untersuchung auf Grund der Fuchs'schen Principien vorgenommen wird. Es ergiebt sich schliesslich, dass der Periodenquotient \(\omega\) eine unendlich vieldeutige Function von \(J\) ist, deren sämtliche Zweige aus dem Ausgangszweige durch lineare gebrochene ganzzahlige Substitutionen der Determinante 1 hervorgehen. Vermöge der Schwarz'schen Ableitung erhält man eine Differentialgleichung dritter Ordnung für \(\omega(J)\), welche sich als ein Specialfall der von Herrn Schwarz in seiner Arbeit: \glqq Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe\grqq{} betrachteten Differentialgleichung ansehen lässt. Die interessante Thatsache, dass auch die rationalen Invarianten \(\lambda\) und \(\mu\), als Functionen von \(J\) angesehen, Schwarzsche \(s\)-Functionen sind, leitet über zum dritten Capitel. Hier werden zunächst auf Grundlage der Schwarzschen Arbeiten die Sätze aus der Theorie der conformen Abbildung hergeleitet, auf denen sich die Lehre von den Functionen \(s(\nu_1, \nu_2, \nu_3; J)\) aufbaut, die Herr Klein auch Dreiecksfunctionen nennt, weil jeder Zweig einer solchen Function die conforme Abbildung eines Kreisbogendreiecks auf eine Halbebene vermittelt. Unter den eindeutig umkehrbaren \(s\)-Functionen werden drei Arten unterschieden, je nachdem sie einen imaginären Orthogonalkreis, einen Häufungspunkt oder einen reellen Orthogonalkreis besitzen. Zu der \(s\)-Function dritter Art gehört die Function \(\omega = s( \frac 12, \frac 13, \frac{1}{\infty}; J)\), und hierdurch wird für \(J(\omega)\) die Eindeutigkeit und Existenz in beschränktem Bereiche nachgewiesen, während die andere fundamentale Eigenschaft der Invarianz bei jenen linearen Substitutionen schon aus den Betrachtungen des zweiten Capitels folgte und jetzt auf anderem Wege zum zweiten Mal gefunden wird. Das vierte Capitel stellt sich die Aufgabe, die Function \(\omega = s( \frac 12, \frac 13, \frac{1}{\infty}; J)\) in einer Weise zu behandeln, welche in der Theorie der Ikosaeder-Irrationalität \(\zeta = s( \frac 12, \frac 13, \frac 15; J)\) ihr Prototyp findet. Diese Betrachtung wird in äusserst interessanter Weise durchgeführt, und es ergiebt sich so als Grundproblem, die Resolventen der Modulgleichung \(J(\omega)=J\) namhaft zu machen und zu untersuchen. Die Lösung dieser Aufgabe erfordert einmal die Ermittelung der Untergruppen der Modulgruppe, das ist das ``gruppentheoretische Grundproblem'', dem der zweite Abschnitt des Buches gewidmet ist, und dann die Aufstellung der zugehörigen Resolventen, was nichts anderes heisst, als dass für die Unterguppen die zugehörigen Modulfunctionen gewonnen und ihr Zusammenhang mit \(J\) explicite dargestellt werden soll; das ist das \glqq functionentheoretische Grundproblem\grqq{}, welches im dritten Abschnitt behandelt wird. Der erste Abschnitt schliesst im fünften Capitel mit einer Zusammenstellung von Formeln aus der Theorie der dopppeltperiodischen Functionen und der Modulformen, welche hier ihren Platz gefunden hat, damit die Darstellung später nicht unterbrochen zu werden braucht. Das erste und zweite Capitel des zweiten Abschnittes beschäftigen sich mit der Theorie der linearen Substitutionen einer Variable und deren Anwendung auf die Modulgruppe und auf die durch Spiegelung daraus entstehende erweiterte Gruppe. Auf Grund dieser Betrachtungen folgt im dritten Capitel in sehr eleganter Darstellung eine geometrische Theorie der Äquivalenz auf und Reduction der binären quadratischen Formen, wie sie für die Formen negativer Determinante von Herrn Dedekind, für die Formen positiver Determinante von Stephen Smith begründet worden ist, und es gewinnt somit die Modulteilung der \(\omega\)-Ebene für die Zahlentheorie die schönste Bedeutung. Den Schluss des Capitels bilden Bemerkungen über die Gleichberechtigung der Modulsubstitutionen. Die für die allgemeine Untersuchung der Untergruppen massgebenden Begriffe werden im vierten Capitel an der besonderen Untergruppe erläutert, welche zu dem Legendreschen Modul als Function des Periodenverhältnisses \(\omega\) gehört. Es ergeben sich so die Begriffe des Index, des Repräsentantensystems, des Fundamentalpolygons und der ``zugehörigen'' Gruppe, die entsteht, wenn man in der Modulgruppe die Substitutionen einer Untergruppe als identisch ansieht. Diese Gruppe ist deshlalb so wichtig, weil die Betrachtung ihrer Untergruppen zu neuen Untergruppen der Modulgruppe führt. Dies wird im fünften Capitel, welches der allgemeinen Theorie der Untergruppen gewidmet ist, näher ausgeführt. Zu dem Begriff des \glqq Geschlechtes\grqq{} einer Untergruppe gelangt man, indem man den ihr zugehörigen Fundamentalbereich durch eine gewisse stetige Biegung in eine geschlossene Fläche verwandelt, deren Zusammenhang durch die als Geschlecht benannte Zahl \(p\) charakterisirt wird. Was die ausgezeichneten Untergruppen betrifft, so giebt es für \(p=0\) nur die vier Untergruppen \(\varGamma_6, \varGamma_{12}, \varGamma_{24}, \varGamma_{60}\), deren \glqq zugehörige\grqq{} Gruppen nichts anderes sind als die bekannten zum Dieder für \(n=3\), zum Tetraeder, zum Oktaeder und zum Ikosaeder gehörigen endlichen Gruppen linearer Substitutionen. Auch für jedes Geschlecht \(p>1\) ist die Zahl der ausgezeichneten Untergruppen begrenzt, während dies für \(p=1\) nicht der Fall ist. Ist jetzt umgekehrt auf einer geschlossenen Fläche eine Dreiecksteilung gegeben, deren Eckpunkte den Bedingungen genügen, welche bei jenen durch Biegung entstandenen Flächen erfüllt waren, so besagt der Verzweigungssatz, dass zu dieser Fläche stets eine Unterguppe mit ihren gleichberechtigten gehört. Der Beweis dieses Satzes bildet den Anfang des sechsten Capitels, und es ist damit die Möglichkeit gegeben, zur Gesamtheit aller Untergruppen zu gelangen. Ein anderer Weg, welcher zu gewissen Untergruppen führt, wird durch die Betrachtung der zu der Function \(s( \frac 12, \frac 13, \frac 1n; J)\) \glqq gehörigen Teilung \((2,3,n)\)\grqq{} der \(\omega\)-Ebene gegeben. Es ergiebt sich jetzt der Begriff der Klasse einer Untergruppe. Als ausgezeichnete Untergruppen \(n^{\text{ter}}\) Klasse erhält man für \(n=2,3,4,5\) die Gruppen vom Geschlechte Null, für \(n=6\) eine Gruppe \(\varGamma_{72}\) vom Geschlechte 1, für \(n=7\) eine Gruppe \(\varGamma_{168}\) vom Geschlechte 3. -- Endlich entspringen aus der arithmetischen Betrachtung der Modulgruppe die \glqq Congruenzgruppen\grqq{}, denen der Rest dieses Abschnittes gewidmet ist. Im siebenten Capitel wird die ``Hauptcongruenzgruppe'' \(\varGamma_{\mu (n)}\) \(n^{\text{ter}}\) Stufe und die zugehörige endliche Gruppe \(G_{\mu (n)}\) betrachtet. Diese Gruppe ist übrigens nichts, anderes, als die Gruppe der Galoisschen Resolvente, welche bei der Transformation \(n^{\text{ter}}\) Ordnung der elliptischen Functionen mit der absoluten Invariante \(J\) zu der Modulargleichung gehört; ein Umstand, der freilich erst im zweiten Bande des Werkes zur Geltung kommt. Für \(n=2,3,4,5\) sind die Hauptcongruenzgruppen mit den ausgezeichneten Gruppen vom Geschlechte Null identisch, für \(n=6\) und 7 stimmen sie überein mit den \(\varGamma_{72}\) und \(\varGamma_{168}\), die am Schluss des sechsten Capitels auftraten. Zur Gesamtheit der Congruenzgruppen \(n^{\text{ter}}\) Stufe gelangt man vermöge Zerlegung der \(G_{\mu (n)}\) in ihre Untergruppen. Diese Zerlegung lässt sich reduciren auf die Zerlegung der \(G_{\mu (q^{\nu)}}\), wo \(q\) eine Primzahl bedeutet. Aber nur der einfachste Fall, die Zerlegung der \(G_{\mu (q)}\), also die Theorie der Congruenzgruppen von Primzahlstufe, kann im folgenden berücksichtigt werden, da der allgemeine Fall zuviel Raum erfordert hätte. Das siebente Capitel schliesst mit dem Hinweis darauf, dass mit den Congruenzgruppen nur ein verschwindend kleiner Teil der Unterguppen der Modulgruppe erschöpft ist. Die \glqq cyklischen Untergruppen\grqq{} der \(G_{\mu (q)} = G_{\frac 12 q(q^2 -1)}\) sind bereits 1895 von Herrn J. A. Serret bestimmt worden und werden im achten Capitel wesentlich auf Grundlage dieser Untersuchungen hergeleitet. Auch von den nicht cyklischen Untergruppen, mit denen sich das neunte Capitel beschäftigt, hat Herr Serret bereits die ``halbmetacyklischen'' \(G_{\frac 12 q(q-1)}\) und die Untergruppen vom Diedertypus entdeckt; dagegen verdankt man die Kenntnis der Tetraeder-, Oktaeder-, und Ikosaedergruppen, welche in \(G_{\mu (q)}\) enthalten sind, Herrn Gierster (1881), von dem auch der Nachweis herrührt, dass hiermit die Zerlegung dieser Gruppe in ihre Untergruppen vollendet ist. Im Hinblick auf die künftige Resolventenbildung wird nun gefragt, welches die Congruenzgruppen \(q^{\text{ter}}\) Stufe von kleinstem Index sind, und es ergiebt sich als Abschluss der Entwickelungen des zweiten Abschnitts der schöne Galois'sche Satz über die Resolventen der Modulargleichungen, der hier in gruppentheoretischer Einkleidung sich so darstellt: ``Die den halbmetacyklischen \(G_{\frac 12 q(q-1)}\) entsprechenden \(q+1\) gleichberechtigten Congruenzgruppen \(q^{\text{ter}}\) Stufe vom Index \(q+1\) sind im allgemeinen Falle der Primzahlstufe \(q\) die Congruenzgruppen von niederstem Index. Ausnahmen treten nur für \(q=5,7,11\) ein, wo wir, bez. den \(G_{12}, G_{24}\) und \(G_{60}\) entsprechend, bei \(q=5\) ein System, bei \(q=7\) und 11 aber beide Male zwei Systeme von je \(q\) gleichberechtigten \(\varGamma_q\) des Index \(q\) zu verzeichnen haben.'' Der dritte Abschnitt beginnt mit einer Uebersicht über die wichtigsten Ergebnisse der Riemann'schen Theorie der algebraischen Functionen, die zwar kurz, aber klar ist. Das erste Capitel bezieht sich auf die Existenztheoreme, während das zweite Capitel den Riemann-Rochschen Satz mit der Erweiterung giebt, welche Herr Klein als Brill-Noetherschen Reciprocitätssatz bezeichnet. Als wertvolles Hülfsmittel für die weiteren Untersuchungen wird eine geometrische Anschauungsweise eingeführt. Ist nämlich ein System von \(\nu\) linear unabhängigen, \(m\)-wertigen algebraischen Functionen einer Riemann'schen Fläche gegeben, die an denselben \(m\) Punkten dieser Fläche unendlich werden, so werden diese \(\nu\) Grössen als Punktcoordinanten im Raume \(R_{\nu}\) von \(\nu\) Dimensionen angesehen, womit jedoch keineswegs die Möglichkeit aufgegeben wird, jenen Grössen complexe Werte beizulegen. Bei dieser Bedeutung der \(\nu\) algebraischen Functionen erhalten wir die Punkte einer im \(R_{\nu}\) gelegenen Curve, und diese Curve lässt sich an Stelle der Riemann'schen Fläche als Gegenbild des algebraischen Gebildes ansehen. Ist die Stufe \(\nu\) der Mannigfaltigkeit bei gegebenem \(m\) die möglich kleinste, so heisst die Curve eine \glqq Normalcurve\grqq{}. Setzt man, für \(p>1\), \(p\) linear-unabhängige Integranden erster Gattung \(p\) homogenen Veränderlichen proportional, so durchläuft der so bestimmte Punkt im \(R_{p-1}\) eine Curve, welche die Normalcurve dieser \(\varphi\)-Functionen heisst. Diese Curve ist im allgemeinen von der Ordnung \(2p-2\), und alle zu der betreffenden Riemann'schen Fläche gehörenden algebraischen Functionen lassen sich rational durch die \(\varphi\)-Quotienten ausdrücken. Hieraus ergiebt sich als Grenzfall der hyperelliptische Fall, indem die Curve in eine doppelt zu zählende der Ordnung \(p-1\) und des Geschlechtes 0 entartet; alle zum hyperelliptischen Gebilde gehörigen algebraischen Functionen lassen sich rational durch gewisse zwei Functionen ausdrücken. Nach diesen Vorbereitungen ist es möglich -- und das ist der Gegenstand des dritten Capitels -- zu jeder Unterguppe \(\varGamma_{\mu}\) von endlichem Index \(\mu\) die zugehörigen eindeutigen Modulfunctionen zu constuiren. Diese lassen sich stets durch \(J\) und eine algebraische Function \(z\) von \(J\) rational darstellen, welche selbst eine der gesuchten Modulfunctionen ist, und die algebraische Gleichung \(f(z,J)=0\) ist die zur Untergruppe \(\varGamma_{\mu}\) gehörige algebraische Resolvente der Modulgleichung. Nunmehr werden die in dem gruppentheoretischen Abschnitt gewonnenen Begriffe erst in ihrer vollen Bedeutung erkannt. Der lndex ist der Grad der Gleichung \(f(z,J)=0\) in \(z\). Aus einer Wurzel \(z(\omega)\) dieser Gleichung entstehen die anderen, wenn auf \(\omega\) die Substitutionen des \glqq Repräsentantensystems\grqq{} angewandt werden, und zu den verschiedenen Wurzeln gehören genau die Substitutionen der \(\varGamma_{\mu}\) gleichberechtigten Untergruppen der Modulgruppe. Ist \(\varGamma_{\mu}\) \glqq ausgezeichnet\grqq{}, so ist die Gleichung \(f(z,J)=0\) eine Galoissche Resolvente; die Wurzeln dieser Gleichung sind also alle rational ausedrückbar durch eine von ihnen, und die Gleichung \(f(z,J)=0\) wird durch \(\mu\) rationale Transformationen in sich übergeführt. Ist \(\varGamma_{\mu}\) \glqq nicht ausgezeichnet\grqq{}, so ist die durch ihre Galoissche Resolvente definirte Untergruppe der Modulgruppe ausgezeichnet, und der lndex dieser Gruppe ist gleich der Ordnung der Monodromiegruppe. Das \glqq Geschlecht\grqq{} der durch Biegung aus dem Fundamentalbereich entstehenden geschlossenen Fläche ist identisch mit dem Geschlecht der Gleichung \(f(z,J)=0\), deren zugehörige \(\mu\)-blättrige Riemannsche Fläche durch Abbildung dieser geschlossenen Fläche auf die \(J\)-Ebene erhalten wird, und diese Abbildung geschieht eben durch eindeutige Functionen von \(\omega\), welche bei den Substitutionen der \(\varGamma_{\mu}\) in sich übergehen. Endlich wird die Art der Verzweigung der Riemann'schen Fläche durch den im zweiten Abschnitt zur Definition der Untergruppen benutzten Verzweigungssatz gegeben. Ist das Geschlecht einer Unterguppe gleich 0, so lassen sich alle zugehörigen Modulfunctionen durch eine rational ausdrücken, welche als \glqq Hauptmodul\grqq{} bezeichnet wird. Gehört die Untergruppe dem elliptischen oder hyperelliptischen Fall an, so sind zwei Moduln zur rationalen Darstellung der übrigen ausreichend, und diese bilden ein \glqq volles Modulsystem\grqq{}. Endlich im allgemeinen Falle ergeben \(p\) linear unabhängige Integranden erster Gattung ein \glqq volles Modulsystem\grqq{}. Die zu einer ausgezeichneten Untergruppe gehörigen Moduln werden als Galoissche Moduln bezeichnet, und zu ihnen gehören ein Galois'scher Hauptmodul oder ein Galoissches Modulsystem. In den folgenden Capiteln wird die allgemeine Theorie an einigen Beispielen durchgeführt. Das vierte Capitel handelt von den Modulfunctionen, die zu den vier ausgezeichneten Untergruppen des Geschlechtes Null gehören. Den Hauptteil dieser Untersuchungen bildet natürlich die Theorie der zu der \(\varGamma_{60}\) gehörenden Resolventen sechsten und fünften Grades. Am Anfang des fünften Capitels werden die beiden einzigen ausgezeichneten Untergruppen \(\varGamma_{48}\) und \(\varGamma_{120}\) behandelt, die dem hyperelliptischen Falle angehören. Als zugehörige volle Modulsysteme ergeben sich \(\mu, \sqrt{\mu (\mu^4 -1)}\) und \(\zeta \sqrt{\zeta (\zeta^{10} + 11 \zeta^5 -1)}\). Es folgen Betrachtungen, die sich auf die historisch wichtigen Modulfunctionen beziehen, und es wird der Uebergang zu den Untersuchungen von Herrn Hermite bewerkstelligt. Den Schluss des Capitels bildet die Betrachtung der ausgezeichneten \(\varGamma_{72}\), die als Beispiel für den elliptischen Fall gewählt ist. Die beiden letzten Capitel des dritten Abschnittes sind der interessanten ausgezeichneten Untergruppe \(\varGamma_{168}\) gewidmet, deren Geschlecht \(p=3\) ist. Das volle Modulsystem lässt sich so wählen, dass die Gleichung der zugehörigen Normalcurve \[ z_1^3 z_4 + z_4^3 z_2 + z_2^3 z_1 =0 \] wird. Diese Curve vierter Ordnung geht durch 168 Collineationen in sich über. In einfachem Zusammenhang mit den Moduln \(z_1, z_2, z_4\) stehen vier Moduln \(A_0, A_1, A_2, A_4\) siebenter Stufe, welche nichts anderes sind als die Quadratwurzeln der Wurzeln der Multiplicatorgleichung, welche zu der Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen gehört. Werden diese Grössen als homogene Coordinaten im \(R_3\) interpretirt, so ergiebt sich eine Raumcurve sechster Ordnung, die sowohl als vollständiger Schnitt von vier Flächen dritter Ordnung, als auch als die Kegelspitzencurve eines Bündels von Flächen zweiter Ordnung dargestellt wird. Zum Schluss werden die Resolventen achten und siebenten Grades der zur \(\varGamma_{168}\) gehörigen Galois'schen Gleichung 168. Grades explicite aufgestellt und ausführlich besprochen. Es würde noch möglich sein, die Stufe \(n=11\) in ähnlicher Weise zu behandeln; allein die bis jetzt angewandten Methoden versagen bei höherer Stufenzahl wegen der übergrossen Complication der Rechnungen. Deshalb wird es notwendig, neue Hülfsmittel ausfindig zu machen, und diese gewährt die Transformation und die Teilung der elliptischen Functionen. Hiermit aber beschäftigt sich erst der zweite Band des Werkes, welcher ausserdem zahlentheoretische Anwendungen der Modulfunctionen enthält.
scientific article; zbMATH DE number 2689853