On the three-body problem and the equations of dynamics
In dieser Arbeit (der ein vom König von Schweden ausgesetzter Preis zuerkannt wurde) wird die Existenz gewisser particulärer Lösungen der Differentialgleichungen der Dynamik nachgewiesen. Sie bringt ferner neue Hülfsmittel zur Beurteilung der Stabilität von Bewegungen. Ein grosser Teil ist dem Studium der Bewegungen mit nur zwei Freiheitsgraden gewidmet. Auf einen Fall solcher Bewegung reducirt sich das Problem der drei Körper, wenn angenommen wird, die Masse des einen, \(A\), sei sehr gross, die eines zweiten, \(B\), sehr klein und die des dritten, \(C\), unendlich klein, ferner dass \(A\) und \(B\) Kreise um ihren gemeinsamen Schwerpunkt beschreiben und die Bewegung von \(C\) in der Bahn dieser Kreise vor sich geht. Die festgestellten particulären Lösungen ermöglichen insbesondere den Nachweis, dass gewisse in der Mechanik des Himmels gebrauchte Reihenentwicklungen nicht convergent sind, vielmehr einen Charakter ähnlich wie die Stirling'sche Reihe für \(\Gamma(x+1)\) tragen (wodurch sie praktische Brauchbarkeit behalten); endlich, dass das Problem der drei Körper ausser den bereits bekannten Integralen kein weiteres eindeutiges analytisches in einem noch genauer zu präcisirenden Sinne (s. am Schlusse) zulässt. Zunächst wird eine Übersicht über die zu verwendenden allgemeinen Eigenschaften von Differentialgleichungen gegeben. Dabei erfahren die bekannten Sätze über die Möglichkeit, einem Systeme von Differentialgleichungen \[ \frac{dx_i}{dt}=X_i \quad (i=1,2,\dots,n),\tag{1} \] worin die \(X\) Potenzreihen der \(x\) vorstellen, durch Potenzreihen nach den Anfangswerten der \(x\) und nach \(t\) zu genügen, eine Ausdehnung, welche die gleichzeitige Entwickelbarkeit der Lösungen nach Potenzen eines in den \(X\) eingehenden Parameters \(\mu\) betrifft, und gewisse andere Sätze über solche Systeme, die der Verfasser in seiner Inauguralthese (Paris 1879) entwickelt hat, eine Ausdehnung auf den Fall, wo die \(X\) noch von \(t\) abhängen, und zwar periodische Functionen von \(t\) sind. In den in der Arbeit zu betrachtenden Systemen (1) gehen in die \(X\) gewisse \(x_i\) so ein, dass die \(X\) periodische Functionen von ihnen, und zwar mit der Periode \(2\pi\) sind; eine particuläre Lösung \(x_i=\varphi_i(t)\) von (1) heisst dann periodisch mit der Periode \(h\), wenn \(\varphi_i(t+h)\) für diese ``angularen'' Variabeln \(x_i\) bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) gleich \(\varphi_i(t)\), für die übrigen ``linearen'' Variabeln \(x_i\) direct \(= \varphi_i(t)\) ist. Es wird nun zuerst der neue Begriff der ``Integralinvarianten'' zur Behandlung von Fragen über Stabilität eingeführt. Es möge (1) als Gesetz der Bewegung eines Punktes \(P(x_1,x_2,\dots,x_n)\) im Raume von \(n\) Dimensionen aufgefasst werden. Betrachtet man die Punkte \(P\), die zur Zeit \(t_0\) ein \(\nu\)-dimensionales Gebiet \(G_0\) erfüllen, so bilden sie zur Zeit ein gewisses Gebiet \(G\). Ein \(\nu\)-faches Integral über \(G\), das einen von \(t\) unabhängigen Wert besitzt, wird eine ``Integralinvariante'' (\(\nu^{\mathrm{ter}}\) Ordnung) genannt. So ist z. B. das Volumen \(\int dx_1dx_2 \dots dx_n\) über jedes Gebiet eine solche Invariante, wenn die \(X\) der Bedingung \[ \sum \frac{\partial X_i}{\partial x_i}=0 \quad (i=1,2,\dots,n) \] genügen. Ferner ist für die kanonische Form der Differentialgleichungen der Mechanik \[ \frac{dx_i}{dt}=\frac{\partial F}{\partial y_i},\quad \frac{dy_i}{dt}=-\frac{\partial F}{\partial x_i}\quad (i=1,2,\dots,p)\tag{2} \] das Doppelintegral \(\int \sum_i dx_i dy_i\) eine Invariante, und es giebt im Probleme der \(n\) Körper noch eine Invariante erster Ordnung. Besonders wichtig sind die ``positiven'' (Integral-) Invarianten, worunter solche \(n\)-ter Ordnung \[ \int M \,dx_1dx_2 \dots dx_n, \] in welchen \(M\) eine positive Function vorstellt, verstanden werden. Die Bedeutung der Integralinvarianten beruht auf dem fundamentalen Satze: Ist das Volumen eine Invariante (oder giebt es überhaupt irgend eine positive Invariante), und bleibt \(P\) auf den durch (1) bestimmten Bahnen immer in endlicher Entfernung (es sei jetzt etwa \(n = 3\)), so giebt es, wenn man eine Region \(r_0\) betrachtet, sie mag noch so klein sein, immer unendlich viele solche Bahnen von \(P\), welche die Region unendlich oft durchsetzen. Es kann aber auch Bahnen geben, welche sie nur eine endliche Anzahl von Malen durchsetzen; diese sind indes als Ausnahmen zu betrachten, ungefähr so, wie man eine rationale Zahl Ausnahme und eine incommensurable Zahl Regel nennen kann. Nach Hill und Bohlin bleibt in dem eingangs erwähnten Specialfalle des Dreikörperproblems der Radius \(CA\) endlich, und nun geht hervor, dass in der Regel \(A\), \(B\), \(C\) unendlich oft ihre anfängliche Position so nahe, wie man will, wieder erlangen. In den meisten Fragen der Dynamik treten gewisse sehr kleine Parameter auf, so dass man natürlich dazu geführt wird, die Lösungen nach den wachsenden Potenzen dieser zu entwickeln; solche Parameter sind in der Mechanik des Himmels die Massen. Es seien in (1) die \(X\) Functionen der \(x\) und eines Parameters \(\mu\); wenn sie von \(t\) abhängen, sollen sie periodische Functionen von \(t\) mit der Periode \(2\pi\) sein. Es mögen die Gleichungen (1) für einen Wert von \(\mu\) eine periodische Lösung \(x_i=\varphi_i(t)\) zulassen, und man setze \(x_i=\varphi_i+\xi_i\). Das System der Variationsgleichungen von (1) \[ \frac{d\xi_i}{dt} = \frac{\partial X_i}{\partial x_1}\;\xi_1 + \frac{\partial X_i}{\partial x_2}\;\xi_2 + \cdots + \frac{\partial X_i}{\partial x_n}\;\xi_n \] besitzt dann particuläre Lösungen \(\xi_i=Ae^{\alpha t} \lambda_i(t)\), wobei \(A\) eine Integrationsconstante, die \(\lambda_i\) periodische Functionen von mit der Periode \(2\pi\) und \(\alpha\) eine Constante vorstellen; dabei bestimmt sich \(e^{2\alpha \pi}\) als Wurzel einer gewissen Gleichung \(n\)-ten Grades mit constanten Coefficienten. Die Grössen \(\alpha\) heissen die ``charakteristischen Exponenten'' der periodischen Lösung, und letztere heisst eine stabile, wenn die Quadrate aller \(\alpha\) reell und negativ sind (dann bleiben die \(\xi\) wenigstens für lange Zeit endlich), sonst eine instabile. Hat das System (1) die kanonische Form (2), so sind die \(\alpha\) paarweise gleich und von entgegengesetztem Vorzeichen, und heissen die \(p\) Grössen \(\alpha^2\) die ``Coefficienten der Stabilität''. Es wird nun gezeigt, dass, wenn die Gleichungen (1) für \(\mu = 0\) eine periodische Lösung zulassen, deren Anfangswerte \(\varphi_i(0)\) sein mögen, im allgemeinen Functionen \(\beta_i\) von \(\mu\) sich so bestimmen lassen, dass den Anfangswerten \(\varphi_i(0) +\beta_i\) auch noch für kleine Werte von \(\mu\) periodische Lösungen von (1) entsprechen. Bei den Gleichungen von der Form (2) gestaltet sich die Sache, weil hier in \(F\)=const. ein Integral da ist, etwas anders. Es sei \(p = 3\); \(F\) soll nicht von \(t\) abhängen, eindeutig in den \(x\) und \(y\) und eine periodische Function mit der Periode \(2\pi\) in den \(y\) sein, ferner in Bezug auf \(\mu\) eine Entwicklung \[ F=F_0+\mu F_1+ \mu^2 F_2 + \cdots \] besitzen; darin soll \(F_0\) nur von den \(x\) abhängen; alle diese Umstände lassen sich gewöhnlich erzielen. Für \(\mu = 0\) folgt dann aus (2) \[ x_i=x_i^0 = \text{const.},\quad y_i =n_it+ \widetilde{\omega_i},\quad n_i=- \frac{\partial F_0}{\partial x_i}; \] die \(\widetilde{\omega_i}\), sind neue Constanten. Werden \(x_1^0,x_2^0,x_3^0\) so gewählt, dass \(n_1, n_2, n_3\) commensurabel werden, und ist \(T\) das kleinste gemeinsame Multiplum von \(\frac{2\pi}{n_1},\frac{2\pi}{n_2},\frac{2\pi}{n_3}\), so hat diese Lösung die Periode \(T\). Es sei \(\psi\) der Mittelwert von \(F_1\) als periodischer Function von \(t\). Es kann \(\widetilde{\omega_1}=0\) gesetzt werden; das bedeutet nur eine Festsetzung des Nullpunkts von \(t\); wenn dann dieser letzten Lösung für \(\mu = 0\) periodische Lösungen für kleine \(\mu\) benachbart sein sollen, müssen \(\widetilde{\omega_2},\widetilde{\omega_3}\) die zwei Gleichungen \[ \frac{d \psi}{d \widetilde{\omega_2}} = 0,\quad \frac{d \psi}{d \widetilde{\omega_3}} = 0 \] erfüllen; diese sind immer lösbar, weil \(\psi\) periodisch in \(\widetilde{\omega_2}\) und \(\widetilde{\omega_3}\) und endlich ist und deshalb mindestens ein Maximum und ein Minimum besitzt. Nachdem die Existenz solcher benachbarter periodischer Lösungen unter den weiteren Voraussetzungen, dass die Hesse'sche Determinante von \(F_0\) in Bezug auf die \(x_i^0\) und die von \(\psi\) in Bezug auf \(\widetilde{\omega_2}\) und \(\widetilde{\omega_3}\) nicht Null sind, festgestellt ist, werden diese Lösungen direct nach Potenzen von \(\mu\) entwickelt. Bei dem Probleme der drei Körper tritt der Ausnahmefall bezüglich der Hesse'schen von \(F_0\) ein; die dadurch eintretende Schwierigkeit lässt sich aber in dem mehrfach erwähnten speciellen Falle dieses Problems umgehen. Weiter wird gezeigt, dass die charakteristischen Exponenten \(\alpha\) für die gefundenen Lösungen sich nach steigenden Potenzen von \(\sqrt \mu\), mit der ersten anfangend, entwickeln lassen. -- Im Falle \(p = 2\) gilt Entsprechendes; jedes commensurable System \(n_1,n_2\) führt dann auf mindestens eine stabile und mindestens eine instabile Lösung. Sei nun wieder \(x_i=x_i^0\) eine periodische Lösung von (1) mit der Periode \(2\pi\); setzt man \(x_i=x_i^0+\xi_i\), so wird man in erster Annäherung \[ \xi_i=A_1 e^{\alpha_1 t} \varphi_{1i} + A_2 e^{\alpha_2 t} \varphi_{2i} + \cdots + A_n e^{\alpha_n t} \varphi_{ni} \] haben, worin die \(\varphi\) periodische Functionen von vorstellen; die Gleichungen für die durch \(\xi_i=\Sigma \eta_k \varphi_{ki}\) definirten \(\eta_i\) werden dann \[ \frac{d \eta_i}{dt} = H_i^{(1)} + H_i^{(2)} + \cdots \quad (H_i^{(1)}=\alpha_i \eta_i ), \] wobei \(H_i^{(m)}\) den Inbegriff der Glieder vom \(m^{\mathrm ten}\) Grade in Bezug auf die \(\eta\) rechts vorstellen soll. Aus diesen Gleichungen erhält man \(\eta_i\) gleich einer Reihe, die nach den Potenzen der \(A_ke^{\alpha_{kt}}=w_k\) und von \(e^{\pm r \sqrt{-1}}\) fortschreitet, und die einen Convergenzbereich hat, wenn alle Grössen \(\alpha\) nicht verschwindende reelle Teile von demselben Vorzeichen besitzen (oder wenigstens die \(A\) so zum Teil gleich Null gesetzt werden, dass den übrig bleibenden lauter \(\alpha\) vom bezeichneten Charakter entsprechen), und wenn zudem die \(\alpha\), was im allgemeinen der Fall sein wird, gewisse lineare Gleichungen nicht erfüllen. Hat man z. B. für \(n = 2\) einen reellen positiven und einen reellen negativen Exponenten \(\alpha\), so gewinnt man eine Lösung \(x_i^0+\xi_i\), welche noch von einem Parameter \(A\) abhängt und für \(t=-\infty\) sich asymptotisch der periodischen Lösung nähert, und eine andere, die sich für \(t=\infty\) der periodischen asymptotisch nähert. Die Gesamtheit der Bahnen \(x_1, x_2, t\), welche den asymptotischen Lösungen einer Art für die verschiedenen Werte von \(A\) entsprechen, wird eine ``asymptotische Fläche'' genannt. Im Falle der Gleichungen (2) kann man die einzelnen Coefficienten dieser, nach Potenzen der \(w_i\) und von \(e^{\pm t \sqrt{-1}}\) fortschreitenden Reihen für die \(\eta_i\) zwar nicht nach Potenzen von \(\mu\), aber nach solchen von \(\sqrt \mu\) entwickeln; ordnet man dann aber die ganzen Reihen nach den Potenzen von so erhält man nicht mehr convergente Reihen, sondern solche, welche die \(\eta_i\) nur asymptotisch darstellen. Man sagt, eine Reihe \(C_0+C_1z+C_2z^2+\cdots\) stellt eine Function \(F(z)\) asymptotisch für ein sehr kleines \(z\) dar, wenn man \[ \lim\;\frac{F(z)-C_0-C_1z-\cdots - C_m z^m}{z^m} = 0 \] für \(z = 0\) und jedes \(m\) hat. Im zweiten Teile der Arbeit betrachtet der Verfasser nun namentlich den Fall \(p = 2\), Bewegungen mit zwei Freiheitsgraden. Zunächst wird an Beispielen gezeigt, wie man solche Coordinaten einführt, dass jeder Situation des bewegten Systems ein Wertsystem der Coordinaten und umgekehrt entspricht. Dann wird zum genaueren Studium der hier auftretenden asymptotischen Flächen geschritten. Für diese werden Gleichungen \[ x_i=\varphi_i(t,w),\quad y_i=n_it+ \varphi_{i+2}(t,w) \quad (i=1,2) \] gelten, worin \(w= Ae^{\alpha t}\) und \(A\) beliebig ist, ferner die \(\varphi\) in Bezug auf das explicite \(t\) periodisch sind, und für die \(\varphi\) werden asymptotische Reihen \(\sigma(t, w, \sqrt \mu)\) vorhanden sein. Durch Elimination von \(t\) und \(w\) wird man \[ x_1=f_1(y_1,y_2),\quad x_2=f_2(y_1,y_2) \] und für \(f_1, f_2\) wieder asymptotische Werte \(s_1(y_1, y_2, \sqrt \mu)\), \(s_2(y_1, y_2, \sqrt \mu)\) erhalten, und diese asymptotischen Relationen kann man hier (was im allgemeinen nicht erlaubt ist) auch gliedweise in Bezug auf \(y_1, y_2\) differentiiren. Die \(f_i\) haben den Gleichungen \[ \frac{\partial F}{\partial x_1}\;\frac{\partial f_i}{\partial y_1} + \frac{\partial F}{\partial x_2}\;\frac{\partial f_i}{\partial y_2} + \frac{\partial F}{\partial y_i} = 0 \] zu genügen; es werden nun mittels dieser Gleichungen die \(s_i\) zunächst bis zum Term in \(\sqrt \mu\), dann bis zu einem beliebigen Term \(\mu^k\) construirt, und es werden schliesslich die Eigenschaften der exacten Gleichungen der asymptotischen Flächen ausführlich geometrisch erörtert. Dabei tritt die Bedeutung der asymptotischen Darstellung dieser Flächen in Evidenz. -- Man hat immer Paare von asymptotischen Flächen, die sich wie zwei Schalen einer Fläche verhalten; es wird, was ein besonders schwieriger Punkt ist, dargethan, dass solche zwei Schalen sich immer schneiden müssen, und es wird dadurch auf die Existenz unendlich vieler doppelt asymptotischer Bahnen, d. h. solcher, die sich sowohl für \(t=-\infty\), wie für \(t = + \infty\) einer und derselben periodischen Lösung nähern, geschlossen. Weiter wird die Existenz einer neuen Art von periodischen Lösungen dargethan, die sich nicht, wie die erste Art, nach Potenzen von \(\mu\) entwickeln lassen, sondern, in eine periodische Lösung der ersten Art für einen Wert \(\mu=\mu_0\) gewisser Beschaffenheit übergehend, nach gebrochenen Potenzen von \(\mu-\mu_0\) entwickelbar sind und deshalb nicht nur für \(\mu>\mu_0\), sondern auch für \(\mu<\mu_0\) existiren. Schliesslich wird die Nichtconvergenz gewisser, von Lindstedt für das Dreikörperproblem aufgestellter Reihen gezeigt, und endlich bewiesen, dass es in dem am Anfange bezeichneten Specialfall des Dreikörperproblems für die Gleichungen von der Form (2) ausser dem Integral \(F\) = const. kein anderes Integral \(\varPhi\) = const. geben kann, das analytisch und eindeutig (und periodisch in \(y_1, y_2\)) ist für alle Werte von \(y_1\) und \(y_2\) und für hinreichend kleine Werte von \(\mu\), und während \(x_1,x_2\) ein beliebiges, noch so kleines Gebiet durchlaufen. Gäbe es ein solches Integral, so würde man für jede periodische Lösung erster Art \[ \frac{\partial \varPhi}{\partial x_1} : \frac{\partial \varPhi}{\partial x_2} : \frac{\partial \varPhi}{\partial y_1} : \frac{\partial \varPhi}{\partial y_2} = \frac{\partial F}{\partial x_1} : \frac{\partial F}{\partial x_2} : \frac{\partial F}{\partial y_1} : \frac{\partial F}{\partial y_2} \] haben oder zu einer anderen Folgerung kommen, die jedoch als unzutreffend erkannt wird, wenn alle drei Körper Kreise beschreiben. Aus dem Umstande, dass die Ausdrücke \[ f=\frac{\partial \varPhi}{\partial x_2}\;\frac{\partial F}{\partial x_1} - \frac{\partial \varPhi}{\partial x_1}\;\frac{\partial F}{\partial x_2},\dots \] eindeutige analytische Functionen sein sollen, und andererseits aus der Variabilität, die in den periodischen Lösungen noch da ist, lässt sich dann entnehmen, dass diese Ausdrücke \(f, \dots\) identisch Null sein müssen, und damit würde das Integral \(\varPhi\) von \(F\) nicht verschieden sein.
scientific article; zbMATH DE number 2690614