On the complete connection between the continued fractions which express the two roots of a quadratic equation with rational coefficients
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the complete connection between the continued fractions which express the two roots of a quadratic equation with rational coefficients
zbMATH Open document ID: 21.0193.01
published in: Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, Paris
publication date: 1889-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: bpt6k3064g.f1037
review text: Unter Zugrundelegung des Kettenbruchs: \[ \lambda_{1} + \frac{1}{\lambda_2} \dotplus \frac{1}{\lambda_3} \dotplus \cdots \dotplus \frac{1}{\lambda_i} \] nennt Herr Sylvester den letzten Näherungszähler \(u_{i} = \lambda_{i} u_{i -1} + u_{i - 2}\) eine Cumulante mit dem Typus \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{i}\). Es bezeichne: \[ \begin{matrix} \r\quad & & & \\ t & \text{die} & \text{Reihenfolge} & \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{i - 1}, \lambda_{i},\\ t'& \text{''} & \text{''} & \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{i - 1},\\ 't & \text{''} & \text{''} & \lambda_2, \dots, \lambda_{i - 1}, \lambda_{i},\\ 't' & \text{''} & \text{''} & \lambda_2, \dots, \lambda_{i - 1},\\ \underline{t} & \text{''} & \text{''} & \lambda_i, \lambda_{i - 1}, \dots, \lambda_{2}, \lambda_{1},\\ \overline{t} \text{ endlich} & \text{''} & \text{''} & - \lambda_1, - \lambda_2, \dots, - \lambda_{i - 1}, - \lambda_{i},\end{matrix} \] ferner bedeute \(\theta t\) die Aufeinanderfolge zweier Typen \(\theta\) und \(t\); \(\theta 0 t\) bedeutet alsdann einen Typus, der zwischen den Typen \(\theta\) und \(t\) eine Null hat; \(\theta (0t)^{\nu} \tau\) ist ein Typus, welcher zusammengesetzt ist aus \(\theta\), dem \(\nu\)-fach wiederholten Typus \(0t\), endlich dem Typus \(\tau\). Nach diesen Vorbereitungen wird der folgende Satz verständlich sein: Die beiden Wurzeln einer quadratischen Gleichung können gleichzeitig und eindeutig durch die Formen \[ (\theta t (0t)^{\infty}) \quad \text{und}\quad -(\overline{\theta} \underline{t} (0\underline{t})^{\infty}) \] dargestellt werden, wobei alle Elemente von \(\theta\) (mit Ausnahme des letzten, welches Null sein kann) und von \(t\) positiv sind. Z. B. die Gleichung \(23 x^2 - 68x + 50 = 0\) hat die Wurzeln \[ \begin{aligned} & \frac{34 - \sqrt{6}}{23}, \quad \frac{34 + \sqrt{6}}{23}\cdot \quad \text{Hier ist} \; \theta = 1,2 ; \quad t = 1, 2, 3.\\ & \frac{34 - \sqrt{6}}{23} = (\theta t (0t)^{\infty}) = (1, 2, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, \dots);\…
Mathematics Subject Classification ID: 11A55
zbMATH DE Number: 2691628
zbMATH Keywords: continued fractions
zbMATH Keywords: quadratic irrational numbers
MaRDI profile type: Publication
author: James Joseph Sylvester
description: scientific article; zbMATH DE number 2691628