On a summatorial function.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On a summatorial function.
zbMATH Open document ID: 21.0428.02
published in: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften
publication date: 1889-01-01T00:00:00Z
review text: Bezeichnet \(t\) eine reelle positive Grösse, \(f (x)\) eine Function der reellen Veränderlichen \(x\), so ist bis auf eine additive Constante eine Function \(\varPsi (x)\) durch die folgenden Eigenschaften vollständig bestimmt: Wenn \(x\) kein ganzes Vielfaches von \(t\), und \(nt\) das dem Werte von \(x\) nächste kleinere ganze Vielfache von \(t\) ist, so ist \[ \varPsi (x) - \varPsi (nt) = \tfrac 12 f (nt); \] ferner ist die Differenz \[ \varPsi (x + t) - \psi (x) \] im allgemeinen gleich dem Functionswerte von \(f\) für dasjenige zwischen \(x\) und \(x + t\) liegende Argument, welches ein ganzzahliges Vielfaches von \(t\) ist; nur in dem besonderen Falle, wo jedes der beiden Argumente \(x\) und \(x + t\) selbst ein gazzahliges Vielfaches von \(t\) ist, wird jene Differenz gleich \[ \tfrac 12 (f(x) = f(x + t)). \] Die hierdurch charakterisirte Function \(\varPsi (x)\) bezeichnet der Herr Verfasser mit \[ \overline{\sum_t} f(x) \] und nennt sie eine ``summatorische Function''. Diese Function lässt sich in sehr eleganter Weise analytisch darstellen. Man wähle nämlich irgend eine reelle Function \(\psi(x)\), welche im Intervalle \((0, t)\) nebst ihrer Ableitung endlich bleibt, und entwickle dieselbe in eine Fourier'sche Reihe: \[ \psi (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \left( \alpha_k \sin \frac{2 k x \pi}{t} + \beta_k \cos\;\frac{2k x \pi}{t} \right). \] Ferner bestimme man die Grössen \(a_k\), \(v_k\) so, dass \[ a_k e^{v_k \pi i} = - \frac{2k \pi}{t} (\alpha_k + \beta_k i) \quad \quad (k = 1, 2, 3, \dots) \] wird, und alsdann \(g(x), g'(x), \dots, g^{(n - 1)}(x)\) durch die Gleichungen \[ g^{(n - h)} (-x) = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k \left( \frac{t}{2k\pi} \right)^h \cos \left( \frac{2kx}{t} + v_k + \tfrac 12 h \right) \pi \quad (h = 1, 2, \dots, n); \] endlich nehme man \(g^{(n)} (-x)\) im Intervalle \(0 \leqq x < t\) gleich \(- \psi' (x)\) an und ausserhalb des Intervalle so, dass stets \[ g^{(n)} (x + t) = g^{(n)} (x) \] wird. Dann besteht die Gleichung: \[ (\psi (0) …
Mathematics Subject Classification ID: 39-XX
zbMATH DE Number: 2691918
zbMATH Keywords: Functions \(\Psi\) that satisfy \(\Psi(x)-\Psi(nx)=\frac{1}{2}f(nx)\) for a given \(f\)
MaRDI profile type: Publication
author: Leopold Kronecker
description: scientific article; zbMATH DE number 2691918