On the convergence of hypergeometric series of two and three variables.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the convergence of hypergeometric series of two and three variables.
zbMATH Open document ID: 21.0449.02
DOI: 10.1007/BF01443681
author: J. Horn
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1889-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/157457
review text: Eine Potenzreihe zweier Veränderlichen \[ H(x, y) = \varSigma A_{\lambda, \mu} x^{\lambda} y^\mu \quad \quad (\lambda, \mu = 0, 1, \dots, \infty) \] wird eine hypergeometrische Reihe genannt, wenn die beiden Quotienten \[ f(\lambda, \mu) = \frac{A_{\lambda + 1, \mu}}{A_{\lambda, \mu}}, \quad g\; (\lambda, \mu) = \frac{A_{\lambda, \mu + 1}}{A_{\lambda, \mu}} \] rationale Functionen von \(\lambda, \mu\) sind. In ähnlicher Weise wird die hypergeometrische Reihe von mehr Veränderlichen definirt. Der Untersuchung der Convergenz der Reihe \(H(x, y)\) geht die über die Convergenz der zweifach unendlichen Reihe \[ \varSigma | U_{\lambda, \mu} | \quad \quad (\lambda, \mu = 0, 1, \dots, \infty) \] voraus, die zu folgendem Resultate führt. Es sei in der \(\lambda \mu\)-Ebene \(OL\) die positive \(\lambda\)-Axe, \(OM\) die positive \(\mu\)-Axe, \(OP\) und \(OQ\) zwei Strahlen in dem Quadranten \(LOM\) die einen Winkelraum \({\mathfrak{S}}\) bilden. Ist nun für alle Punkte \((\lambda, \mu)\) in \({\mathfrak{S}}\), für welche \(\lambda > l, \mu > m\) ist, gleichzeitig \[ \left| \frac{U_{\lambda + 1, \mu}}{U_{\lambda, \mu}} \right| > 1, \quad \left| \frac{U_{\lambda, \mu + 1}}{U_{\lambda, \mu}} \right| > 1, \] so ist die Reihe \(\sum_{\lambda, \mu} | U_{\lambda, \mu} |\) divergent. Bezeichnet man ferner den Winkelraum zwischen \(OL\) und \(OP\) mit \({\mathfrak{P}}\), den zwischen \(OM\) und \(OQ\) mit \({\mathfrak{Q}}\), und treten die Strahlen in der Reihenfolge \(OL, OQ, OP, OM\) auf, so dass die Gebiete \({\mathfrak{P}}\) und \({\mathfrak{Q}}\) den Winkelraum \({\mathfrak{S}}\) gemein haben, so gilt der Satz: Ist im Gebiete \({\mathfrak{P}}\) \[ \left| \frac{U_{\lambda + 1, \mu}}{U_{\lambda, \mu}} \right| < \alpha, \quad \alpha < 1, \] im Gebiete \({\mathfrak{Q}}\) \[ \left| \frac{U_{\lambda, \mu + 1}}{U_{\lambda, \mu}} \right| < \beta, \quad \beta < 1, \] sobald \(\lambda >l\), \(\mu > m\) ist, so convergirt die Reihe \(\sum_{\lambda, \mu} | U_{\lambda, \mu} |\). Dieser Satz …
Mathematics Subject Classification ID: 33C99
zbMATH DE Number: 2691941
zbMATH Keywords: Hypergeometric series in several variables
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2061736401
description: scientific article; zbMATH DE number 2691941