On the doubly periodic functions arising out of the curve \(x^3 + y^3 - 3\alpha xy = 1\).
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the doubly periodic functions arising out of the curve \(x^3 + y^3 - 3\alpha xy = 1\).
zbMATH Open document ID: 21.0490.01
author: A. C. Dixon
published in: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics
publication date: 1890-01-01T00:00:00Z
review text: Die Abel'schen Functionen sind bekanntlich in dem Falle \(p = 1\) und insbesondere für nicht-singuläre kubische Curven elliptische Functionen. Die Theorie solcher Functionen wird hier entwickelt, indem als Ausgangspunkt die kubische Curve \[ x^3 + y^3 - 3 \alpha xy = 1 \] statt der biquadratischen \[ y^2 = (1 - x^2)(1 - k^2 x^2) \] genommen wird. Die aus dem Abel'schen Integral erster Art \[ u = \int_0^x \frac{dx}{y^2 - \alpha x} \] entspringenden Functionen \[ y = \text{cm\,} u, \quad x = \text{sm\,} u \] werden eingehend studirt und die Resultate geometrisch gedeutet. Alsdann werden die Functionen \[ f(u) = \int_0^u \text{sm\,} u \text{cm\,} u\, du, \quad \frac{d}{du}\;\log g (u) = f(u) \] und \[ Q(u, a) = \log\;\frac{g(u + a)}{g(u - a)} + u \{\alpha - 2f(a)\} - \alpha a + \log \text{\,cm\,} a \] eingeführt. Es zeigt sich, dass alle rationalen Functionen von \(\text{sm\,}u\) und \(\text{cm\,} u\) durch diese Functionen \(f(u)\) und \(Q(u, a)\) integrirt werden könne. Die letzten Capitel enthalten die Transformationstheorie. Ueberall tritt der Parallelismus zwischen der hier betrachteten Theorie und der der gewöhnlichen elliptischen Functionen hervor.
Mathematics Subject Classification ID: 14K20
Mathematics Subject Classification ID: 33E05
zbMATH DE Number: 2691981
zbMATH Keywords: abelian functions
zbMATH Keywords: elliptic functions
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2691981