On the representation of complex numbers as continued fractions
Dan Satz von der Periodicität der Kettenbruchentwickelung quadratischer Irrationalitäten erweitert der Verfasser auf folgende Weise. Aus den, wie üblich, durch die Punkte einer Ebene dargestellten complexen Zahlen möge ein System \((S)\) unendlich vieler Zahlen so ausgewählt sein, dass die Summe, die Differenz, das Product je zweier Zahlen des Systems wieder Zahlen des Systems sind, dass ferner 0 und 1 dem System angehören, dass aber in keinem endlichen Teil der Ebene unendlich viele Zahlen des Systems liegen. Dann werde eine beliebige complexe Grösse \(x_0\) in einen Kettenbruch entwickelt nach dem Schema: \[ x_0=a_0+\frac{1}{x_1}, \quad x_1=a_1+\frac{1}{x_2}, \dots x_n=a_n+\frac{1}{x_{n+1}}, \dots, \] wo die \(a\) irgend welche Zahlen aus \((S)\) sind; es sei endlich \(\frac{p_n}{q_n}\) der \(n^{\text{te}}\) Näherungswert und \(x_n-\frac{p_n}{q_n}= \frac{\theta_n}{q_n^2} \cdot\) Falls dann \(\theta_n\) für alle \(n\) kleiner als eine endliche Grösse \(\varrho\) bleibt, \(q_n\) dagegen mit wachsendem \(n\) über alle Grenzen wächst, so convergirt der Kettenbruch stets und zwar gegen \(x_0\); er bricht nur dann ab, wenn \(x_0\) der Quotient zweier Zahlen aus \((S)\) ist; er wird periodisch, wenn \(x\) einer quadratischen Gleichung genügt, deren Coefficienten Zahlen aus \((S)\) sind. Die vielen Voraussetzungen dieses Satzes sind erfüllt in zwei interessanten Beispielen. 1. \((S)\) sei das System der ganzen complexen Zahlen \(m+ni\), wo \(i^2=-1\). Die ganze Ebene wird dann in Quadrate geteilt, und jedem Punkte \(x_{\lambda}\) zugeordnet der Mittelpunkt \(a_{\lambda}\) des Quadrats, welches \(x_{\lambda}\) enthält. 2. \((S)\) sei das System der ganzen complexen Zahlen \(m+n\varrho\), wo \(\varrho^3=1\). Hier wird zu demselben Zwecke die ganze Ebene in reguläre Sechsecke zerlegt.
scientific article; zbMATH DE number 2693777