Remarks on Jacobi's theta formulas.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Remarks on Jacobi's theta formulas.
zbMATH Open document ID: 19.0458.01
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1887-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
review text: Durch Betrachtung der Functionen \[ T_h(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3)=\vartheta_h(\zeta_0+\zeta_1)\vartheta_h( \zeta_0-\zeta_1)\vartheta_h(\zeta_2+\zeta_3)\vartheta_h(\zeta_2-\zeta_3), \] wo \[ \begin{aligned} & \vartheta_0(\zeta)=\sum{}(-q)^{n^2}e^{2n\zeta\pi i},\quad i\vartheta_1(\zeta)=q^{\frac14}\sum{}(-1)^nq^{n^2+n}e^{(2n+1)\zeta\pi i},\\& \vartheta_3(\zeta)=\sum{} q^{n^2}e^{2n\zeta\pi i},\quad \vartheta_2(\zeta)=q^{\frac14}\sum{} q^{n^2+n}e^{(2n+1)\zeta\pi i},\end{aligned} \] ergiebt sich, dass \(T_2+T_3\) eine symmetrische Function der vier Grössen \(\zeta\) ist. Dieses Resultat ist nicht anderes als die berühmte Fundamentalgleichung für die Theorie der Thetafunctionen, die Jacobi gegeben hat. Ferner ist die Summe der drei conjugirten Werte von \(T_1\) gleich Null, und dieser Satz ist identisch mit der Weierstrass'schen dreigliedrigen \(\sigma\)-Formel (Berl. Monatsber. 1882. 505). Vgl. die vorstehend angeführte Abhandlung (siehe JFM 19.0457.02). Nach Herleitung allgemeinerer Thetaformeln bemerkt Herr Kronecker, dass die Möglichkeit der Ableitung der Jacobi'schen Formel aus der Weierstrass'schen sich schon in dem Werke von Briot und Bouquet: ``Théorie des fonctions elliptiques'' p. 495 finde, und leitet umgekehrt die Weierstrass'sche Formel aus der Jacobi'schen Thetaformel her.
Mathematics Subject Classification ID: 33E05
zbMATH DE Number: 2696417
zbMATH Keywords: theta functions
MaRDI profile type: Publication
author: Leopold Kronecker
description: scientific article; zbMATH DE number 2696417