On finite groups of linear substitutions which occur in the theory of the elliptic transcendents.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On finite groups of linear substitutions which occur in the theory of the elliptic transcendents.
zbMATH Open document ID: 19.0472.01
DOI: 10.1007/BF01452057
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1885-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/157213
review text: Die Arbeit bietet eine Weiterführung der Entwickelungen, welche Herr Klein über Modulfunctionen der \(N^{\text{ten}}\) Stufe gegeben hatte (cf. F. d. M. XVII. 1885. 453-456, JFM 17.0453.01). Als Basis des Ganzen dient ein bekannter Satz von Hermite, demzufolge alle doppelt-periodischen Functionen \(X(u)\), die \(n\)-mal im Perioden-Parallelogramme verschwinden, aus \(n\) von einander unabhängigen linear und homogen zusammensetzbar sind. Bezeichnet man ein solches System mit \(X_0(u),X_1(u),\dots,X_{n-1}(u)\), so ist insbesondere deren Verhalten bei linearen Transformationen der Perioden \(\omega_1,\omega_2\) zu untersuchen. Dabei darf man über die Constanten \(a_1,b_1,a_2,b_2\), welche in den Fundamentalformeln \[ X(u+\omega_1)=e^{a_1u+b_1}X(u),\quad X(u+\omega_2)=e^{a_2u+b_2}X(u) \] auftreten, beliebig verfügen; man wählt sie zweckmässig so, dass die \(n^{\text{te}}\) Potenz der Weierstrass'schen Function \(\sigma(u)\) der Reihe der \(X(u)\) angehört, da \(\sigma(u)\) bei allen linearen Transformationen der Perioden ungeändert bleibt. Dann lassen sich die \(n\) Functionen \(X_{\alpha}(u)\) leicht durch die \(\sigma\)-Function darstellen. Definirt man mit Herrn Klein: \[ \sigma_{x,y}(u|\omega_1,\omega_2)=e^{(x\eta_1+y\eta_2)\left(u-\frac{x\omega_1 +y\omega_2}2\right)}.\sigma(u-x\omega_1-y\omega_2|\omega_1,\omega_2), \] so kommt \((\alpha=0,1,\dots,n-1)\): \[ X_{\alpha}(u)=\mu_{\alpha}.e^{-G_1u^2}.\sigma_{\varepsilon,\varepsilon+ \frac{\alpha}n}\left(u|\frac{\omega_1}n,\omega_2\right), \] wo \(\varepsilon=\frac12\) oder \(=0\) zu nehmen ist, je nachdem \(n\) eine gerade oder eine ungerade Zahl ist, wo ferner \(G_1\) eine bestimmte Constante ist und die \(\mu_{\alpha}\) Proportionalitätsfactoren bedeuten. Daraus folgt, dass \(X_{\alpha+n}(u)=X_{\alpha}(u),X_{\alpha}(-u)=(-1)^nX_{n-\alpha}(u)\), und wenn man das Argument um einen \(n^{\text{ten}}\) Periodenteil vermehrt, so wird \(X_{\alpha}\left(u+\frac{\lambda_1\omega_1+\lambda_2\omega_2}n\right)\), bis auf Exponenti…
Mathematics Subject Classification ID: 11F11
zbMATH DE Number: 2696437
zbMATH Keywords: modular functions of higher level
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2083158108
author: Adolf Hurwitz
description: scientific article; zbMATH DE number 2696437