A generalized theory of the combination of observations, so as to obtain the best result.
In den einleitenden Bemerkungen zu dieser Abhandlung weist der Verfasser darauf hin, dass man, ausgehend von dem bekannten Fehlergesetz, bei einer Reihe von Beobachtungen erwarten dürfe, dass der wahrscheinliche Fehler nur bei einem Hundertstel der Zahl der Beobachtungen überschritten werde, während die Erfahrung lehre, dass es viel häufiger der Fall sei, auch dass es überhaupt zu den seltenen Ausnahmen gehöre, wenn die Verteilung der einzelnen Fehler ihrer Grösse nach jenem Fehlergesetz entspräche, und endlich dass man fast jedesmal einige abnorm grosse Fehler finde, deren Behandlung stets grosse Schwierigkeiten bereite. Gewöhnlich empfehle man solche Beobachtungen als abnorm ganz auszuscheiden, aber es fehle an einem positiven Kriterium, an welchem man erkennen könne, ob eine Beobachtung als abnorm zu betrachten sei. Bei den Beobachtungen von Mercur- und Venus-Durchgängen durch die Sonnenscheibe seien die grossen Fehler verhältnismässig so zahlreich, dass sich eine Trennung zwischen abnorm und normal vollständig unausführbar erweise. Die übliche Betrachtungsweise gründe sich darauf, dass alle in Frage stehenden Beobachtungen in gleicher Weise als den Fehlern ausgesetzt angesehen würden, lediglich in den zufälligen Umständen, die die Fehler erzeugen, als verschieden; wenn das aber nicht der Fall sei, wenn wir ein System von Beobachtungen vor uns hätten, von denen ein Teil mit einem noch grösseren wahrscheinlichen Fehler behaftet ist, dann würden sich die Fehler des ganzen Systems keineswegs nach dem Fehlergesetz ordnen lassen. Und ein solches Verhalten finde bei fast astronomischen und physikalischen Arbeiten statt. Daraus folge dann, dass aus einer Mischung von solchen Beobachtungen das arithmetische Mittel keineswegs den wahrscheinlichsten Wert liefere, vielmehr dass den vom Mittel weiter abweichenden Beobachtungen ein geringeres Gewicht beigelegt werden müsste. Es wird sodann gezeigt, dass durch die abnormen Beobachtungen die Gestalt der Wahrscheinlichkeits-Curve wesentlich geändert wird, und dass dieselbe sehr verschiedene Formen annehmen kann, so dass es verschiedene wahrscheinlichste Werte giebt. Da entsteht dann die Frage, ob auch in diesem Fall ein allgemeines Princip aufgestellt werden kann, mit dessen Hülfe sich ein bestimmter Wert berechnen lässt, der allen andern vorzuziehen wäre, und welche Hypothese gemacht werden, muss, um uns bei der Wahl von Fehler verschiedener Grösse zu leiten. Im praktischen Leben nehmen wir an, dass der Nachteil, welchen ein Fehler mit sich führt, sich zunehmend steigert, wenn der Fehler wächst, und daraus entwickelt der Verfasser, dass es am besten sei, anzunehmen, dass der Nachteil eines Fehlers proportional sei dem Quadrat der Grösse des Fehlers. Der Wert einer Beobachtung wird dahin definirt, dass er umgekehrt proportional ist der Totalsumme der Fehler-Nachteile, die dabei in Frage kommen, jeder Nachteil multiplicirt mit der Wahrscheinlichkeit des Fehlers, was auch mit der gewöhnlichen Fehlertheorie im Einklang steht. Derjenige Wert einer Beobachtung, für welchen diese Summe ein Maximum wird, verdient also den Vorzug, er tritt an die Stelle des wahrscheinlichsten Wertes und die Grösse des damit verbundenen Nachteils an die Stelle des wahrscheinlichsten Fehlers der gewöhnlichen Theorie. Der weitaus grösste Teil der Abhandlung beschäftigt sich nun mit der Aufstellung der Formeln, welche den vorhin erörterten Principien entsprechen, so wie mit der Umformung derselben, um sie für praktische Aufgaben verwendbar zu machen. An Beispielen wird die Entwickelung erläutert.
scientific article; zbMATH DE number 2698091