Recherches sur quelques séries semiconvergentes.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Recherches sur quelques séries semiconvergentes.
zbMATH Open document ID: 18.0197.01
published in: Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série
publication date: 1886-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/80944
review text: Reihen von der Form: \[ F(a) = m_0 + \frac{m_1}{a} + \frac{m_2}{a^2} + \frac{m_3}{a^3} + \cdots, \] worin \(a\) als reell und positiv vorausgesetzt wird, nennt der Herr Verfasser semiconvergente und teilt sie in Reihen erster und zweiter Art, je nachdem das Vorzeichen der Glieder wechselt oder unverändert bleibt. Die letzteren bilden den hauptsächlichsten Inhalt der Abhandlung. Um solche Reihen zur numerischen Berechnung der durch sie dargestellen Functionen benutzen zu können, hat man ein Restglied \(R_n\) zu bestimmen, das man einer endlichen Anzahl von Gliedern der Reihe hinzuzufügen hat. Nimmt man für \(a\) sehr grosse Werte, so nehmen die Glieder der Reihe mit wachsendem Index zunächst ab, um nachher über jede Grenze zu wachsen. Die zu lösende Aufgabe besteht also in der Ermittelung desjenigen Wertes von \(n\), für welchen \(R_n\) sein Zeichen wechselt, mithin in der angenäherten Auflösung der transcendenten Gleichung \(R_n =0\), worin \(n\) als eine stetige Veränderliche betrachtet wird. Wünschenswert wäre es, wenn dieser Zeichenwechsel von \(R_n\) in der Nähe des kleinsten Gliedes der Reihe stattfände, und bei den vom Herrn Verfasser behandelten Beispielen ist dies der Fall. Die angenäherte Lösung der Gleichung \(R_n =0\) hat die Form: \[ n= \alpha a + \alpha_0 + \frac{\alpha_1}{a} +\frac{\alpha_2}{a^2} + \cdots; \] sie ergiebt sich, indem man das zu einem in der Umgebung des kleinsten Gliedes der Reihe befindlichen Gliede \(T_n\) gehörige \(R_n\) in eine nach abnehmenden Potenzen von \(n\) fortschreitende semiconvergente Reihe entwickelt. In vielen Fällen ist es nicht erforderlich, die Reihe soweit fortzusetzen, bis \(R_n\) das Zeihen wechselt; es lässt sich der Grad der Annäherung angeben, wenn die Reihe bei einem beliebigen Gliede abgebrochen wird. Das erste Beispiel ist der Integrallogarithmus: \(li(e^a)\); derselbe wird in die bekannte Reihe entwickelt, und dem Restglied die Form \[ R_n = \left\{ \int_0^{1- \varepsilon} + \int_{1+ \varepsilon}^{\infty} \…
zbMATH DE Number: 2698112
author: Thomas Jan Stieltjes
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2598654797
DOI: 10.24033/ASENS.279
description: scientific article; zbMATH DE number 2698112