Treatise on elliptic functions and their applications. First part. Theory of elliptic functions and their development into series.
Es ist ein eigenartiges Werk, welches uns hier vorliegt. Der Herr Verfasser hat, wie er in dem Vorwort betont, hauptsächlich für diejenigen geschrieben, welche die elliptischen Functionen praktisch anwenden wollen, also für solche, welche sich mit den exacten Wissenschaften befassen ``sans cultiver les Mathématiques''. Den Mathematiker von Fach mag es interessiren, welche Stellung die elliptischen Functionen in der allgemeinen Functionentheorie einnehmen, wie ihre Theorie nach allgemeinen functionentheoretischen Principien streng begründet wird; hier kommt es nur darauf an, den Leser möglichst schnell in den Stand zu setzen, Aufgaben aus der Mechanik, der Physik, der Geometrie oder Algebra, die auf elliptische Functionen führen, mit Leichtigkeit zu lösen, numerisch fertig bis auf vorgeschriebene Decimalstellen. Und diesen Zweck hat der Verfasser auch erreicht. Schon die Einführung in die elliptischen Functionen ist charakteristisch. Durch einen Punkt \(C\) innerhalb eines Kreises werden alle möglichen Sehnen \(MCM'\) gezogen und auf diesen werden von \(C\) aus nach beiden Seiten Strecken \(CN,CN'\) abgetragen, die proportional der reciproken Quadratwurzel aus der Länge der Sehne \(MM'\) sind; alsdann liegen die Endpunkte \(N,N'\) auf einer geschlossenen convexen Curve. Zu einem Bogen des ursprünglichen Kreises gehört ein bestimmter Sector der von dieser Curve begrenzten Fläche; wird letzterer als Argument \(u\) genommen, so ist der entsprechende Kreisbogen, abgesehen von einem constanten Factor, die entsprechende Amplitude: \(\varphi = \text{am\,} u\). Die trigonometrischen Functionen von \(\varphi\) sind nun die zunächst für reelle Werthe des Argumentes \(u\) definirten elliptischen Functionen. Sofort ergiebt sich die Bedeutung von \(k^2\), die reelle Periode \(4K\) u. a. Aber die Rechnung mit sin am\,\(u\), cos am\,\(u\), \(\varDelta\text{am\,}u\) interessirt nur noch die, welche die alten Werke von Jacobi u. a. lesen (Seite 23); wir bedienen uns praktischer der ``Bezeichnung'' von Weierstrass, der Function \(\wp u\), die mit sin am\,\(u\) durch die Formel \[ \wp u = - \frac{1+k^2}{3\lambda} + \frac{1}{\lambda \text{\,sn\,}^2 \frac{u}{\sqrt{\lambda}}} \] verbunden ist (wo \(\lambda\) eine positive Constante ist), und die der Differentialgleichung \((\wp u=y)\) \[ \left( \frac{dy}{du} \right)^2 = 4(y-e_1)(y-e_2)(y-e_3) \] genügt. In einem ausführlichen Referat über das Halphen'sche Buch in Darboux Bull. (2) XI. 29 wird die Benutzung der Weierstrass'schen ``Bezeichnungen'' gebilligt, weil dies système de notations introduit une plus grande symétrie dans l'exposition et dans les formules. Dass Herr Weierstrass nicht bloss neue Bezeichnungen eingeführt, sondern der ganzen Theorie eine festere functionentheoretische Grundlage gegeben, erfährt der Leser nicht. Von den von Herrn H. A. Schwarz herausgegebenen ``Formeln und Lehrsätzen zum Gebrauche der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen des Herrn Professor Weierstrass'' wird nun ein ausgiebiger Gebrauch gemacht. Nachdem im ersten Capitel die elliptischen Functionen mit reellem Argument eingeführt sind, wird \(\wp(a+i\alpha)\) mit Hülfe des Additionstheorems, also \(\wp u\) für ein complexes Argument definirt und die doppelte Periodicität gewonnen. Alsdann werden die Fundamentaleigenschaften für eine negative Discriminante \[ \varDelta = g_2^3 - 27g_3^2 \] erweitert. Die Multiplicationsformel \[ \wp(nu) - \wp u = -\frac{\psi_{n+1} (u) \psi_{n-1} (u)}{\psi_n^2 (u)} \] wird aufgestellt, und das Problem der Umkehrung bildet den Schluss des vierten Capitels. Das fünfte behandelt die Function \(\frac{\sigma'u}{\sigma u}\), wofür Herr Halphen \(\zeta (u)\) setzt; das sechste führt die Function \(\sigma u\) ein. Im Capitel VII folgt die Zerlegung in einfache Elemente und in Factoren; Capitel VIII definirt die \(\vartheta\)-Functionen und giebt die Beziehungen zwischen den Sigma- und den Thetafunctionen, Capitel IX behandelt die Ableitungen nach den Invarianten und den Perioden. Im X. Capitel werden die Perioden durch hypergeometrische Reihen dargestellt, Capitel XI enthält die Entwickelung der elliptischen Functionen mit doppeltem Index, die folgenden die Entwickelungen der Functionen \(\sigma\) und \(\vartheta\) in einfache Producte und in trigonometrische Reihen. Das letzte (XIV.) Capitel enthält eine Anwendung der allgemeinen Theorie der Functionen auf die der elliptischen Functionen. Wer die sechs ersten Capitel studirt hat, sagt der Herr Verfasser in der Vorrede, kennt die elliptischen Functionen so weit, dass er sie ebenso leicht wie die trigonometrischen Functionen auf Mechanik, Physik, Geometrie und Integralrechnung anwenden kann. Dem ersten Bande sollen zwei andere folgen. Der zweite wird die hauptsächlichsten Anwendungen bringen; der dritte wird die Theorie der Transformation und deren Anwendungen auf Algebra und höhere Arithmetik enthalten; letzterer ist nur für ``Mathematiker'' bestimmt.
scientific article; zbMATH DE number 2698361