Contributions to Analysis situs II.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Contributions to Analysis situs II.
zbMATH Open document ID: 18.0454.01
publication date: 1886-01-01T00:00:00Z
review text: Der Verfasser setzt hier seine Untersuchungen (cf. F. d. M. XVII. 523, JFM 17.0523.02) über den Zusammenhang zwischen der Grundzahl einer Fläche und der Kronecker'schen Charakteristik eines gewissen Functionensystems fort, indem er zunächst noch einmal, in systematischerer und zugleich allgemeinerer Weise, als das erste Mal, den Begriff der Grundzahl (Charakteristik) einer Fläche (Mannigfaltigkeit) rein geometrisch aufbaut. Den Eingang bildet die Bestimmung der Charakteristik ``linearer'' Mannigfaltigkeiten, als deren einfachste Vertreter im Gebiete von einer resp. zwei, drei Dimensionen das begrenzte Stück einer Geraden, das Innere einer geschlossenen sich nicht selbst durchsetzenden ebenen Curve, resp. räumlichen Fläche erscheinen. Das Entstehen eines solchen ``Elementargebildes'' zählt jedesmal + 1, das Verschwinden \(-1\). Jede ``Punktirung'' einer Strecke erhöht die Charakteristik um 1; das Gleiche gilt für einen geschlossenen Raum, während bei der ebenen Fläche ein Abzug von 1 stattfindet. Entsprechend wächst bei der ebenen Fläche die Charakteristik um 1 durch das Auftreten einer ``Querlinie'', nimmt aber beim Raume um 1 ab. Endlich erteilt für den Raum eine ``Querfläche'' der Charakteristik einen Zuwachs von 1. Das allgemeine Gesetz für höhere lineare Mannigfaltigkeiten ist daraus leicht zu entnehmen. Aus den linearen Flächen und Räumen erwachsen ``geschlossene'' Mannigfaltigkeiten \(M_2\) und \(M_3\) indem man sich eine paarweise Zuordnung und Vereinigung der Begrenzungs-Curven, resp. -Flächen gegeben denkt. Auch auf diese Mannigfaltigkeiten ist der Begriff der Charakteristik sofort übertragbar, und es zeigt sich zugleich, dass die letztere Anzahl immer dieselbe bleibt, wie man sich die betreffende Mannigfaltigkeit auch entstanden denkt. Es gilt nämlich der allgemeine Satz, dass die Charakteristik einer aus beliebig vielen getrennten Teilen bestehenden Mannigfaltigkeit sich aus der Summe der Teilcharakteristiken zusammensetzt. Der zweite Teil der Note beschä…
Mathematics Subject Classification ID: 53A04
Mathematics Subject Classification ID: 53A05
Mathematics Subject Classification ID: 53A07
Mathematics Subject Classification ID: 53D05
Mathematics Subject Classification ID: 53D50
Mathematics Subject Classification ID: 57N16
zbMATH DE Number: 2698458
zbMATH Keywords: characteristic of surfaces
zbMATH Keywords: characteristic of function systems
zbMATH Keywords: characteristic of manifolds
zbMATH Keywords: high-dimensional linear manifolds
zbMATH Keywords: sum of partial characteristics
zbMATH Keywords: simple-infinite system of plane curves
author: W. von Dyck
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2698458