Gauss' third proof of the quadratic reciprocity law, in a simplified presentation.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Gauss' third proof of the quadratic reciprocity law, in a simplified presentation.
zbMATH Open document ID: 16.0156.05
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1884-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/148579
review text: Die zuerst angeführte Abhandlung (JFM 16.0156.02) ist als Fortsetzung der in den Monatsberichten von 1876 veröffentlichten anzusehen. Versteht man unter ``sgn.\,\(a\)'' das Vorzeichen der reellen Grösse \(a\), so wurde dort für das Legendre'sche Zeichen \(\left(\frac nm \right)\) unter der Voraussetzung, dass \(m\) eine Primzahl sei, der Ausdruck gefunden \[ ({\mathfrak D}')\quad \left(\frac mn\right)= \text{sgn.}\prod_{h,k}\left(\frac hm-\frac kn\right)\quad\left(\begin{matrix} h= 1,2,\ldots ,\frac 12(m-1) \\ k= 1,2,\ldots, \frac 12(n-1)\end{matrix}\right) , \] während hier die Gleichung \[ ({\mathfrak D})\quad\left(\frac nm\right)= \text{sgn.}\prod_{h,k}\left(\frac hm-\frac kn\right)\left(\frac hm+\frac kn-\frac 12\right) \] aufgestellt wird. Bezeichnet man den Ueberschuss der Zahl \(a\) über die zunächst liegende ganze Zahl mit \(R(a)\), so folgt (\({\mathfrak D}\)) aus der bemerkenswerten Bestimmung \[ (\overline{\mathfrak A})\quad\text{sgn.}\,R(n\alpha )= \text{sgn.}\,\prod_k\left(\alpha -\frac kn\right)\left(\alpha +\frac kn-\frac 12\right); \] \[ (0<\alpha <\frac 12). \] Der vermittels (\({\mathfrak D}\)) gegebene Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesetzes ist der einfachste bisher gegebene; er gehört in die Kategorie des dritten und fünfen Gauss'schen. (Dieser Beweis ist in dem Journal abgedruckt, JFM 16.0156.03). Nachdem dann die eine der beiden Bestimmungen von \(\left( \frac mn \right)\) aus der anderen abgeleitet ist, wird der Vorzug von (\({\mathfrak D}\)) dadurch nachgewiesen, dass man, ohne aus dem engeren Bereiche der quadratischen Reste zu treten, die Uebereinstimmung des durch (\({\mathfrak D}\)) definirten Symbols mit dem Legendre'schen Zeichen nachweisen kann. Den Schluss der Arbeit bildet die Mitteilung einer Methode zur Bestimmung des Legendre-Jacobi'schen Zeichens \(\left(\frac{-n_1}{n_0} \right)\) für zwei positive oder negative, ungerade, teilerfremde Zahlen \(n_0,n_1\), für welche \(|n_0|>|n_1|\) ist. Die Sätze stützen sich auf die Beha…
Mathematics Subject Classification ID: 11A15
zbMATH DE Number: 2701723
zbMATH Keywords: quadratic reciprocity law
MaRDI profile type: Publication
author: Leopold Kronecker
description: scientific article; zbMATH DE number 2701723