On bilinear forms with four variables.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On bilinear forms with four variables.
zbMATH Open document ID: 16.0160.01
publication date: 1884-01-01T00:00:00Z
review text: In der vorliegenden Abhandlung hat der Herr Verfasser sich die Aufgabe gestellt, die Resultate über die Klassenanzahlen, welche ihm durch die Theorie der complexen Multiplication der elliptischen Functionen geliefert wurden, auf rein algebraischem Wege zu beweisen, und dadurch zu der natürlichen Quelle der Erkenntnis vorzudringen. Im ersten Teile (\(\S\) 2-7) werden die Klassenzahlen quadratischer Formen, im folgenden (\(\S\) 8-24) diejenigen der bilinearen Formen mit vier Variabeln behandelt. Wenn man die Substitutionssysteme je nach den verschiedenen Resten der Elemente mod. 2 unterscheidet, so ergeben sich sechs für die Determinante +1 und ebensoviele für die Determinante -1, und diese zwölf Systeme bezeichnen zugleich die verschiedenen Arten der Aequivalenz der mittelst derselben transformirten quadratischen Formen. ``Vollständige Aequivalenz'' wird durch ein System geliefert, das mod. 2 dem Systeme (1, 0; 0, 1) congruent ist; die übrigen Systeme liefern ``unvollständige Aequivalenz''. Als reducirte Formen treten hier diejenigen \(a_0x^2+2b_0xy+c_0y^2\) auf, für welche \(a^2_0\geqq b^2_0,\;c^2_0\geqq b^2_0\) ist, und es wird der Zusammenhang dieser Reduction zu der von Lagrange aufgestellten untersucht. Vollständige Aequivalenz findet nur zwischen Reducirten \((a_0,\;a_0,\;c_0),\;(a_0,\;-a_0,\;c_0)\) sowie zwischen \((a_0,\;c_0,\;c_0),\;(a_0,\;-c_0,\;c_0)\) statt. Fasst man nur diejenigen quadratischen Formen einer negativen Determinante \(-\theta\), welche einander vollständig äquivalent sind, in eine Klasse zusammen, so ergeben sich unmittelbare zahlentheoretische Bedeutungen für die von Herrn Kronecker früher (Journ. für Mathem. LVII. p. 248) aufgestellten Functionen \(G(n)\) und \(F(n)\); so folgt, dass durch 12 \(G(n)\) die Anzahl aller verschiedenen Klassen einander nicht vollständig äquivalenter Formen der Determinante \(-n\) ausgedrückt wird, durch 12 \(F(n)\) aber die Anzahl derjenigen Klassen, welche nur eigentlich primitive oder von eigentlich primiti…
Mathematics Subject Classification ID: 11E41
Mathematics Subject Classification ID: 11E25
zbMATH DE Number: 2701729
zbMATH Keywords: class numbers of quadratic forms in two variables
zbMATH Keywords: and of bilinear forms of four variables
zbMATH Keywords: Decomposition of integers as sum of three squares
MaRDI profile type: Publication
author: Leopold Kronecker
description: scientific article; zbMATH DE number 2701729