On bilinear forms with four variables.
In der vorliegenden Abhandlung hat der Herr Verfasser sich die Aufgabe gestellt, die Resultate über die Klassenanzahlen, welche ihm durch die Theorie der complexen Multiplication der elliptischen Functionen geliefert wurden, auf rein algebraischem Wege zu beweisen, und dadurch zu der natürlichen Quelle der Erkenntnis vorzudringen. Im ersten Teile (\(\S\) 2-7) werden die Klassenzahlen quadratischer Formen, im folgenden (\(\S\) 8-24) diejenigen der bilinearen Formen mit vier Variabeln behandelt. Wenn man die Substitutionssysteme je nach den verschiedenen Resten der Elemente mod. 2 unterscheidet, so ergeben sich sechs für die Determinante +1 und ebensoviele für die Determinante -1, und diese zwölf Systeme bezeichnen zugleich die verschiedenen Arten der Aequivalenz der mittelst derselben transformirten quadratischen Formen. ``Vollständige Aequivalenz'' wird durch ein System geliefert, das mod. 2 dem Systeme (1, 0; 0, 1) congruent ist; die übrigen Systeme liefern ``unvollständige Aequivalenz''. Als reducirte Formen treten hier diejenigen \(a_0x^2+2b_0xy+c_0y^2\) auf, für welche \(a^2_0\geqq b^2_0,\;c^2_0\geqq b^2_0\) ist, und es wird der Zusammenhang dieser Reduction zu der von Lagrange aufgestellten untersucht. Vollständige Aequivalenz findet nur zwischen Reducirten \((a_0,\;a_0,\;c_0),\;(a_0,\;-a_0,\;c_0)\) sowie zwischen \((a_0,\;c_0,\;c_0),\;(a_0,\;-c_0,\;c_0)\) statt. Fasst man nur diejenigen quadratischen Formen einer negativen Determinante \(-\theta\), welche einander vollständig äquivalent sind, in eine Klasse zusammen, so ergeben sich unmittelbare zahlentheoretische Bedeutungen für die von Herrn Kronecker früher (Journ. für Mathem. LVII. p. 248) aufgestellten Functionen \(G(n)\) und \(F(n)\); so folgt, dass durch 12 \(G(n)\) die Anzahl aller verschiedenen Klassen einander nicht vollständig äquivalenter Formen der Determinante \(-n\) ausgedrückt wird, durch 12 \(F(n)\) aber die Anzahl derjenigen Klassen, welche nur eigentlich primitive oder von eigentlich primitiven abgeleitete Formen enthalten. Für die bilinearen Formen wird nun gleichfalls die Unterscheidung der verschiedenen Arten von Aequivalenz eingeführt. Ist \[ Ax_1y_1+Bx_1y_2-Cx_2y_1+Dx_2y_2 \] die vorgelegte bilineare Form, \(\varDelta\) ihre Determinante, so steht die Form in enger Beziehung zu der ``determinirenden'' quadratischen Form \((A, \frac 12(B-C), D)\), deren negative Determinante mit \(\theta\) bezeichnet werden mag. Die Klassenzahl für die bilinearen Formen ist nichts anderes als die Summe von Klassenzahlen quadratischer Formen für eine gewisse Reihe negativer Determinanten, die sich nur um vollständige Quadrate von der Determinante der bilinearen Form unterscheiden. Definirt man die Klassen dadurch, dass jede nur alle diejenigen bilinearen Formen enthält, welche einer derselben vollständig äquivalent sind, so erhält man für die Anzahl der zur Determinante \(\varDelta\) gehörigen \[ Cl(\varDelta )= 12\varSigma [G(4\varDelta -h^2)-F(4\varDelta -h^2)]\quad (-2\sqrt{\varDelta}<h<2\sqrt{\varDelta}). \] Es werden nun durch rein arithmetische Betrachtungen die Klassenzahlen auf lineare Combinationen gewisser Anzahlen von bilinearen Formen zurückgeführt, die aufgestellten Bedingungen genügen, und zwar ergeben sich, wie bei Dirichlet, Differenzen von Anzahlen. Diese lassen sich dann berechnen, und so kommt man zur Hauptformel \[ Cl(\varDelta )= 12(\varPhi (\varDelta )+\varPsi (\varDelta ))+2W_{\varDelta}, \] wobei \(\varPhi (\varDelta )\) die Summe sämtlicher Divisoren von \(\varDelta ,\varPsi (\varDelta )\) den Betrag bedeutet, um welchen die Summe der Divisoren von \(\varDelta\), die grösser sind als \(\sqrt{\varDelta}\), die Summe derjenigen übersteigt, die kleiner als \(\sqrt{\varDelta}\) sind, und \(W_{\varDelta}\) gleich 1 oder 0 ist, je nachdem \(\varDelta\) ein vollständiges Quadrat ist oder nicht. In ähnlicher Weise werden die Klassenanzahlen \(\overline{Cl}(\varDelta )\) und \(\overline{\overline{Cl}}(\varDelta )\) bestimmt, welche die Anzahl der Klassen bezeichnen, bei denen einer der beiden äusseren Coefficienten ungerade und die Summe der beiden mittleren durch zwei, resp. durch vier teilbar ist. Es ergiebt sich dann unmittelbar die Anwendung der gefundenen Formeln auf die quadratischen Formen und daraus die interessante Beziehung zwischen der Zerlegung der Zahlen in drei Quadrate und der Klassenzahl quadratischer Formen von negativer Determinante. Den Schluss dieser inhaltreichen Arbeit, die in ebenso einfacher wie naturgemässer Weise die Untersuchungen über Klassenanzahlen durchgeführt hat, bildet eine sehr elegante Darstellung der Klassenanzahlen bilinearer Formen mit vier Variablen als Entwickelungscoefficienten; es ist nämlich \[ \sum Cl(n).x^n= \sum_n\frac{12+2x^{n^2}(x^n+x^{-n}+4)}{x^n+x^{-n}-2} \] \[ (n= 1,2,3,\ldots ). \]
class numbers of quadratic forms in two variables
Decomposition of integers as sum of three squares
scientific article; zbMATH DE number 2701729