The smallest residues of real variables.
type: Item
instance of: scholarly article
title: The smallest residues of real variables.
zbMATH Open document ID: 17.0150.01
published in: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften
publication date: 1885-01-01T00:00:00Z
review text: Die Abhandlung ist als Abschluss der Untersuchungen anzusehen, die Herr Kronecker 1876 und 1884 über das quadratische Reciprocitätsgesetz veröffentlicht hat; sie giebt eine neue und vollständige Einsicht in die gegenseitigen Beziehungen der verschiedenen auf dem Gauss'schen Lemma fussenden Reciprocitätsbeweise durch die Zurückführung derselben auf die verschiedenen Fundamental-Eigenschaften der Reste reeller Grössen Dieselben drücken sich in den folgenden Gleichungen aus: \[ ({\mathfrak C})\quad \text{sgn.R}(a)= \text{sgn.}\prod_g (\tfrac 12\, g-a); \quad (g=1,2,3,\dots) \] \[ ({\mathfrak D})\quad \text{R}(a)= \text{R} (a+1),\quad \text{R}(a)+ \text{R}(-a)= 0; \] \[ ({\mathfrak E})\quad \text{R}(a)+\text{R}(b)+\text{R}(c)= \left[\textstyle\frac 12+\frac 13 \text{sgn.R} (a)+ \frac 13\text{sgn.R}(b)+\frac 13\text{sgn.R}(c)\right]; \] \[ ({\mathfrak F})\quad m\text{R} \left(\frac {hn}{m} \right)+n\text{R}\, \left(\frac{km}{n} \right)= 0, \] (wobei hinsichtlich der Bezeichnungen auf F. d. M. XVI. 1884. 156 (JFM 16.0156.05) verwiesen werden muss). Der formal einfachste Beweis des Reciprocitätsgesetzes stützt sich nur auf (\({\mathfrak C}\)); denselben hat Herr Kronecker, etwas modificirt, schon gegeben (F. d. M. XVI. 1884. 156, JFM 16.0156.05) er ist eine Vereinfachung des dritten Gauss'schen Beweises. Der sachlich einfachste Beweis ist der vereinfachte fünfte Gauss'sche, der nur die Beziehung (\({\mathfrak D}\)) benutzt. Endlich der Zeller'sche Beweis benutzt (\({\mathfrak E}\)) und (\({\mathfrak F}\)), indem er die Reste selbst in gewisser Weise einander zuordnet. Erwähnt werden möge noch die bemerkenswerte Gleichung \[ \sum_h\;\text{sgn.R} \left(\frac{hn}{m} \right)= \frac 1m\;\sum_h\;\text{tg}\;\frac{h\pi}{m}\;\text{tg} \;\frac{hn\pi}{m} \] \[ \left( h= 1,2,\dots, \frac{m-1}{2} \right). \] Im Schlussparagraphen wird eine Function zweier positiver oder negativer, ungerader, teilerfemder Zahlen \(m\), \(n\) definirt durch \[ \theta (m,n)= \theta (m+2n,n) \] \[ \theta(m…
Mathematics Subject Classification ID: 11A15
zbMATH DE Number: 2699897
zbMATH Keywords: theta functions
zbMATH Keywords: quadratic reciprocity
MaRDI profile type: Publication
author: Leopold Kronecker
description: scientific article; zbMATH DE number 2699897