Investigations on quadratic forms. 1. Determination of the number of distinct forms a given genus contains.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Investigations on quadratic forms. 1. Determination of the number of distinct forms a given genus contains.
zbMATH Open document ID: 17.0159.01
DOI: 10.1007/BF02402203
published in: Acta Mathematica
publication date: 1885-01-01T00:00:00Z
review text: Es handelt sich um die Ermittelung von Zahlen, welche im Falle ``allgemeiner'' Genera, d. i. von quadratischen Formen mit \(n\) Variabeln dieselbe Rolle spielen, wie im Falle binärer Genera die Klassenzahlen. Man bemerkt aber bald, dass sich die Aufgabe, wenn anders man zu einfachen Formeln gelangen will, naturgemäss dahin modificirt, die (endlichen) Verhältnisse zu bestimmen, in welchen die (unendliche) Anzahl der in einem Genus enthaltenen Formen steht zu der (gleichfalls unendlichen) Anzahl der in irgend einer Klasse des Genus enthaltenen. Eine solche Verhältniszahl heisst dann das ``Mass'' der betreffenden Klasse. So ist z. B. der reciproke Wert dieses ``Masses'' bei den binären Klassen negativer Determinante in der Regel gleich zwei (ausnahmsweise vier resp. sechs), da eine zugehörige quadratische Form \(f\) nur zwei (resp. vier, sechs) lineare ganzzahlige Substitutionen von der Determinante Eins in sich zulässt. Das Analoge findet für quadratische, definite Formen von \(n\) Variabeln statt. Um derartige Untersuchungen mit Erfolg auszuführen, kam es vor allem auf eine zweckmässige Definition des ``Genus'' an. Diese bot sich dem Verfasser schon früher in folgender Weise dar: ``Alle Formen, welche denselben Trägheitsindex \(J\) haben, wie eine gegebene Form \(f\), und welche mit dieser Form ``für einen jeden beliebigen Modul congruent sind, bilden ein Genus''. Dabei heissen zwei Formen \(f\), \(g\) von \(n\) Variabeln ``congruent'' in Bezug auf einen Modul \(N\), wenn es lineare Substitutionen von einer Determinante \(\equiv 1\) (mod. \(N\)) giebt, durch welche die Form \(f\) der Form \(g\) (mod. \(N\)) congruent wird. Zunächst wird ein Genus von Formen \(f\) durch sein ``vollständiges System von Invarianten'' charakterisirt. Diese werden gebildet einmal vom Trägheitsindex \(J\), sodann von gewissen \(2n - 1\) Invarianten der Form \(f\) und endlich von den Charakteren (\(\pm 1\)) der Form \(f\), welche letztere in Gestalt Legendre'scher Symbole auftreten, die mög…
Mathematics Subject Classification ID: 11E20
Mathematics Subject Classification ID: 11E41
zbMATH DE Number: 2699916
zbMATH Keywords: the number of classes in a genus
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q60812882
author: Hermann Minkowski
description: scientific article; zbMATH DE number 2699916