Ueber eine bei Anwendung der partiellen Integration nützliche Formel.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Ueber eine bei Anwendung der partiellen Integration nützliche Formel.
zbMATH Open document ID: 17.0251.02
published in: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften
publication date: 1885-01-01T00:00:00Z
review text: Die Formel, von welcher in der vorliegenden Abhandlung eine grosse Zahl interessanter und wichtiger Anwendungen entwickelt werden, lautet folgendermassen: \[ (J)\quad \begin{cases} \int_{x_0}^xf^{(n)}(x)g(-x)dx--\int^xf(x)g^{(n)}(-x)dx \\ =\sum_1^n \;_h \int_{x_0}^x d[f^{(h-1)}(x)g^{(n-h)}(-x)]. \end{cases} \] Man verificirt dieselbe ohne weiteres, indem man beiderseits nach \(x\) differentiirt. Die Anwendungen sind die folgenden: 1) Es entsteht aus (J) die Taylor'sche Entwicklung, wenn man die Integrationsvariable mit \(z\) anstatt mit \(x\) bezeichnet und \[ F(x)= \int_{x_0}^x f(z)dz,\quad g(z)=\frac{(x+z)^n}{n!} \] setzt. 2) Bei der Annahme \(g(z)=e^{ux}\) entsteht die Formel: \[ \int_{x_0}^x f^{(n)}(x)e^{-ux}dx-u^n\int_{x_0}^x f(x)e^{-ux}dx=\sum_1^n{}^h u^{n-h}[f^{(h-1)}(x)e^{-ux}- f^{(h-1)}(x_0)e^{-ux_0}]. \] 3) Nimmt man für \(f(x)\) eine ganze Function \((n-1)^{\text{ten}}\) Grades, für \(g(x)\) die Function \((x+x_0)^n(x+x_1)^n\) und setzt die obere Grenze der in der Formel (J) auftretenden Integrale gleich \(x_1\), so ergiebt sich der folgende für die Theorie der mechanischen Quadratur wichtige Satz: Sei \[ \varphi(x)=\frac{d^n[(x-x_0)(x-x_1)]^n}{dx^n}, \] so ist \[ \int_{x_0}^{x_1}f(x)\varphi(x)dx= 0, \] wenn \(f(x)\) irgend eine ganze Function vom Grade \(n-1\) bedeutet. 4) Es bedeute \(f(x)\) eine ganze Function, welche ebenso wie ihre \(n-1\) ersten Ableitungen im Intervalle \(x=0\) bis \(x=1\) stetig ist, an den beiden Grenzen des Intervalls denselben Wert besitzt und deren \(n^{\text{te}}\) Ableitung durch eine Fourier'sche Reihe darststellbar ist. Setzt man nun in der Formel (J) \[ g(x)=\cos 2k(x+y)\pi, \] wo \(k\) eine beliebige ganze Zahl und \(y\) eine Variable bedeutet, so kommt: \[ \int_0^1f^{(n)}(x)\cos{}2k(y-x)\pi dx=(2k\pi)^n\int_0^1f(x)\cos{}(2ky-2kx+\tfrac 12\, n)\pi dx. \] Diese Gleichung besagt aber, dass die Fourier'sche Entwicklung von \(f(x)\) durch \(n\)-malige gliedweise Integration aus der von \(f^{(n)}(x)\) abgeleitet werden kann. …
zbMATH DE Number: 2700059
MaRDI profile type: Publication
author: Leopold Kronecker
description: scientific article; zbMATH DE number 2700059