Sur les unités complexes.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur les unités complexes.
zbMATH Open document ID: 15.0048.02
published in: Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, Paris
publication date: 1883-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: bpt6k3052k.f93
review text: Dirichlet hat die Hauptresultate seiner fundamentalen Untersuchungen über die complexen Zahlen mit Andeutungen der Beweise in den Berl. Ber. (1841; 1842; 1846) gegeben. Als Hauptpunkt der Theorie hebt er hervor, dass, wenn die verschiedenen absoluten Werte der Wurzeln der Fundamentalgleichung die Anzahl \(h\) aufweisen, \((h-1)\) unabhängige complexe Einheiten gefunden werden können. Dieser Hauptpunkt erfährt in der vorliegenden Arbeit eine wesentlich neue Beleuchtung; sein Beweis stellt sich auf Grund allgemeiner Grössenbetrachtungen, deren Tragweite über die hier gemachten Anwendungen hinausgeht, in einfachster Weise dar. Wir geben, möglichst gedrängt, eine Uebersicht des Inhalts dieser fundamentalen Arbeit. In \[ (w,\; z_{\alpha})=w'z_{\alpha}'+w''z_{\alpha}''+\dotsm +w^{(n)}z_{\alpha}^{(n)} \quad (\alpha = 1,\; 2,\ldots ,\nu ) \] mögen die \(w\) ganze Zahlen und die \(z\) reelle oder complexe Grössen bedeuten, die so beschaffen sind, dass für ganze \(w\) eine Relation \((w,\; z_{\alpha})=0\) unmöglich ist. Den \(w\) geben wir \(m\) Wertsysteme und verteilen die für jedes \(\alpha =1,\; 2,\ldots ,\;\nu\) entstandenen \(m\) Ausdrücke \((w,\; z_{\alpha})\) in \(t_{\alpha}\) Gruppen \(G_{\alpha}\). Dann giebt es (wenn \(E(x)\) die grösste in \(x\) enthaltene ganze Zahl ist) \(m_{\nu} \geqq E\left( \frac m{t_1\; t_2\ldots t_{\nu}} \right)\) Systeme \(w_{\varrho}',\; w_{\varrho}'',\ldots ,\; w_{\varrho}^{(m)}\) für \(\varrho =1,\; 2,\ldots ,\; m_{\nu}\), deren entsprechende \((w_{\varrho},\; z_{\alpha})\) für jedes \(\alpha\) derselben Gruppe \(G_{\alpha}\) angehören. Deutet man \((w,\; z_{\alpha})\) geometrisch als einen Punkt in der Ebene der complexen Grössen \(z_{\alpha}\), dann möge \(T_{\alpha}\) die Maximalentfernung zweier Punkte \((w,\; z_{\alpha})\) für die gegebenen \(m\) Systeme \(w\) darstellen. Es ist der absolute Wert \(|(w_{\varrho}-w_1,\; z_{\alpha})| \leqq T_{\alpha}\), und da \(\varrho =2,\; 3,\ldots ,\; m_{\nu}\) sein kann, so giebt es \[ m_{\nu}-1…
Mathematics Subject Classification ID: 12E05
zbMATH DE Number: 2703270
MaRDI profile type: Publication
author: Leopold Kronecker
description: scientific article; zbMATH DE number 2703270