Gruppentheoretische Studien. II. Ueber die Zusammensetzung einer Gruppe directer Operationen, über ihre Primitivität und Transitivität.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Gruppentheoretische Studien. II. Ueber die Zusammensetzung einer Gruppe directer Operationen, über ihre Primitivität und Transitivität.
zbMATH Open document ID: 15.0110.03
DOI: 10.1007/BF01443244
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1883-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/157082
review text: Hinsichtlich der Anschauungen des Herrn Verfassers über Substitutionen und Gruppen verweisen wir auf das Referat F. d. M. XIV. 1882. 97 (JFM 14.0097.01). Ist \(G=(1,s_2,s_3,\ldots ,s_r)\) eine Gruppe der Ordnung \(r\), so sind alle Transformirten \(s_i^{-1}s_{\alpha}s_i\; (i=1,2,\ldots ,r)\) mit \(s_{\alpha}\) gleichberechtigt; ist \(G'\) eine Untergruppe von \(G\), so sind alle \(s_i^{-1}G's_i\) mit \(G'\) gleichberechtigt. Falls jedes \(s_i^{-1}G's_i=G'\) ist, heisst \(G'\) eine ausgezeichnete Untergruppe. Alle mit einer Substitution \(s_{\alpha}\) gleichberechtigen bilden die erzeugenden Substitutionen einer kleinsten ausgezeichneten Untergruppe. Führen alle kleinsten ausgezeichneten Untergruppen auf \(G\) selbst zurück, dann heisst \(G\) einfach. Jede ausgezeichnete Untergruppe zerspaltet das die Gruppe \(G\) darstellende Polygonnetz (vgl. das oben erwähnte Referat) in Fundamentalsysteme, von denen ein beliebiges als der Einheit äquivalent angesehen werden kann. Um die ausgezeichneten Untergruppen von \(G\) aufzustellen, setzt man daher den Repräsentanten ein er Gruppe gleichberechtigter Substitutionen =1; diese neue Relation wird, zu den alten, welche \(G\) definiren, hinzugefügt, eine ausgezeichnete Untergruppe liefern, welche freilich auch \(G\) selbst werden kann. Es wird die Untersuchung über die Zusammensetzung der Oktaeder- und der Ikosaeder-Gruppe hiernach in einfachster Weise durchgeführt; die angegebene Methode führt überall da leicht zum Ziele, wo die definirenden Relationen bekannt sind. Im zweiten Teile der Arbeit wird die Primitivität von Gruppen besprochen. Ordnet man die Substitutionen beliebig \(1,s_2,s_3,\ldots ,r\) und schreibt darunter in neue Zeilen \(s_i,s_2s_i,s_3s_i,\ldots ,s_rs_i\; (i=1,2,\ldots ,r)\), dann stimmen die Zeilen bis auf ihre Anordnung überein. Die Uebergänge von der ersten zu den übrigen Zeilen können als Substitutionen gedeutet, und so kann die Gruppe \(G\) in regulärer Form als Gruppe \(\varGamma\) des Grades und der Ordn…
zbMATH DE Number: 2703367
author: W. von Dyck
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2039519325
description: scientific article; zbMATH DE number 2703367