On Bernoulli numbers (remarks on the paper of Worpitzky)
type: Item
instance of: scholarly article
title: On Bernoulli numbers (remarks on the paper of Worpitzky)
zbMATH Open document ID: 15.0201.02
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1883-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/148538
review text: Herr Worpitzky (JFM 15.0201.01) unterwirft die Theorie der Bernoulli'schen und Euler'schen Zahlen einer zusammenhängenden Bearbeitung nach der Seite hin, welche eine independente Darstellung dieser Zahlen bezweckt, d. h. die Aufstellung von Ausdrücken, welche jene Zahlen vermittelst der vier Species völlig darstellen, ohne hinterher noch die Auflösung von Gleichungen oder Determinanten zu erfordern. Die hauptsächlichen, für diesen Teil der Theorie gemachten Literaturangaben seien hier wiederholt: Lacroix, Traité des différences; Paris 1800. p. 106 (Laplace's Formel); Grunert, Mathematische Abhandlungen, Altona 1822. S. 69-93 und in Klügel's Wörterbuch IV. S. 608; Scherk, Crelle J. IV. S. 299-304 und Math. Abh. Berlin 1825; Schlömilch, Crelle J. XXXII. S. 360, 1846; Eisenlohr, Crelle J. XXVIII. S. 193-212, 1844; Raabe, Die Jacob Bernoulli'sche Function Zürich 1848 und Crelle J. XLII. S. 348-376, 1851; Schlömilch, Z. f. Math. und Phys. I. S. 193. Die von den beiden letztgenannten Autoren eingeführte, resp. weiter behandelte Bernoulli'sche Function, d. h. diejenige einfachste algebraische Function, welche für ganze positive Argumente in eine Summe gleich hoher Potenzen der ganzen Zahlen nach ihrer natürlichen Folge übergeht und für ein verschwindendes Argument selbst verschwindet, in mehreren verschiedenen Formen darzustellen, bildet den Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit. Während die Raabe'sche Form der Bernoulli'schen Function \[ {\mathfrak B}(x,n)= x^n- \tfrac12\, n\cdot x^{n-1}+\binom{n}{2}\cdot B_1\cdot x^{n-2}= \binom{n}{4}\cdot B_2\cdot x^{n-3}+\binom{n}{6} \cdot B_3\cdot x^{n-6}-\cdots \tag{1} \] hauptsächlich der Anwendung des binomischen Satzes ihre Entstehung verdankt, gelangt man auf ebenfalls ganz elementarem Wege zu Darstellungen dieser Function, indem man \(x^n\) als Aggregat solcher algebraischen Functionen ausdrückt, deren jede eine leicht zu summirende Reihe liefert, wenn man \(x\) die Werte \(x, x+1, x+2, x+3, \dots\) durchlaufen lässt. Von derart…
Mathematics Subject Classification ID: 11B68
zbMATH DE Number: 2703597
zbMATH Keywords: Bernoulli numbers
MaRDI profile type: Publication
author: Leopold Kronecker
description: scientific article; zbMATH DE number 2703597