New contributions to Riemann's function theory.
type: Item
instance of: scholarly article
title: New contributions to Riemann's function theory.
zbMATH Open document ID: 15.0351.01
DOI: 10.1007/BF01442920
author: Felix Klein
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1882-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/157059
review text: Die vorliegenden Untersuchungen sind hauptsächlich der Theorie der eindeutigen Functionen mit linearen Transformationen in sich gewidmet. Sie gehen dabei zunächst von allgemeinen functiontheoretischen Betrachtungen aus, die eine Fortsetzung der Entwickelungen bilden, welche Herr Klein in seiner Schrift ``Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Functionen und ihrer Integrale'' [Leipzig, Teubner; s. F. d. M. XIV. 1882. 358, JFM 14.0358.01] gegeben hat. Der Begriff einer Riemann'schen Fläche wird hier noch erweitert und ganz allgemein als ein Aggregat beliebig berandeter Flächenstücke gegeben, in welchem die Ränder durch irgend welche Zuordnung auf einander bezogen sind, so dass eine ``in abstracto'' geschlossene Mannigfaltigkeit vorliegt. Die auf einer solchen Fläche existirenden Functionen lassen sich dann (in ähnlicher Weise wie in jener Schrift geschehen) als Potentialfunctionen deuten, die im Innern jedes Flächenstückes der auf letzteres bezüglichen Differentialgleichung des Potentials, auf dem Rande aber noch (gemäss der gegenseitigen Zuordnung der Ränder) gewissen Randbedingungen genügen. Für die Begründung der Existenz solcher Potentialfunctionen wird über die physikalischen Anschauungen der früheren Schrift hinaus die Literatur eingehend besprochen, die sich an das Dirichlet'sche Princip knüpft. Neben einer kurzen Charakteristik der hierhergehörigen Arbeiten von C. Neumann und Schwartz ist dabei noch ein Brief des letzteren an den Verfasser mitgeteilt über die Bestimmung einer Potentialfunction, für welche neben punktuellen Unstetigkeiten auch noch gewisse Periodicitätsmoduln vorgeschrieben sind. Den Uebergang zu den Functionen mit linearen Transformationen in sich bildet nun das in grösstmöglicher Allgemeinheit formulirte ``Princip der analytischen Forsetzung'': Ein beliebig gegebener Fundamentalbereich, dessen Ränder paarweise einander zuegeordnet sind, wird als Stück eines allgemeinen Bereiches und die Transformationen, welche die Kanten des ersteren zusa…
Mathematics Subject Classification ID: 30F10
Mathematics Subject Classification ID: 30F35
Mathematics Subject Classification ID: 30F40
zbMATH DE Number: 2703796
zbMATH Keywords: compact Riemann surfaces
zbMATH Keywords: automorphic functions
zbMATH Keywords: discontinuous groups
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q55919073
OpenAlex ID: W1966008536
description: scientific article; zbMATH DE number 2703796