On the analytic representation of single valued monogenic functions of one independent variable.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the analytic representation of single valued monogenic functions of one independent variable.
zbMATH Open document ID: 16.0351.01
DOI: 10.1007/BF02418410
published in: Acta Mathematica
publication date: 1884-01-01T00:00:00Z
review text: Herr Weierstrass hat in der Abhandlung: Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen, Abhandlungen der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1876, den allgemeinen Ausdruck einer eindeutigen analytischen Function mit einer endlichen Anzahl wesentlich singulärer Stellen festgestellt. Die vorliegende grosse Arbeit des Herrn Mittag-Leffler schliesst sich dem Inhalte nach an diese Untersuchungen von Weierstrass an. Das Ziel, welches Herr Mittag-Leffler verfolgt, ist nämlich die analytische Darstellung der denkbar allgemeinsten eindeutigen Function, für deren singuläre Stellen also keinerlei beschränkende Voraussetzungen gemacht werden. Wer die modernen functionentheoretischen Arbeiten verfolgt hat, wird ohne weiteres die Bedeutung und Schwierigkeit des von Herrn Mittag-Leffler gestellten Problemes würdigen. Um die Resultate, zu welchen Herr Mittag-Leffler gelangt, näher angeben zu können, muss ich zunächst den Begriff der singulären Stelle einer Function in Erinnerung bringen. Eine eindeutige Function von \(x\) verhält sich an einer Stelle \(a\) regulär, wenn ihre Werte in der Nähe dieser Stelle durch eine nach Potenzen von \(x-a\) mit ganzzahligen positiven Exponenten fortschreitende Reihe dargestellt werden können. Das Gebiet der regulären Stellen einer eindeutigen Function ist ein zweifach ausgedehntes, aus einem Stücke bestehendes Continuum, welches, wenn man von dem Falle, wo die Function eine Constante ist, absieht, notwendig begrenzt ist. Die Stellen nun, welche diese Begrenzung bilden, werden die singulären Stellen der Function genannt. Welche Gruppirung diese Stellen auch darbieten mögen, stets kann ihre Gesamtheit als eine Punktmenge \(P\) im Sinne des Herrn Cantor aufgefasst werden, und es werden die Begriffsbestimmungen und Sätze, welche Herr Cantor in seiner Theorie der Mannigfaltigkeiten entwickelt, den naturgemässen Einteilungsgrund für die verschiedenen Möglichkeiten ergeben, welche die singulären Stellen der Functionen darbieten können. Es…
Mathematics Subject Classification ID: 30B99
zbMATH DE Number: 2702008
zbMATH Keywords: Mittag-Leffler's Theorem
zbMATH Keywords: Holomorphic functions with prescribed singularities
Wikidata QID: Q110507399
MaRDI profile type: Publication
author: Gösta Mittag-Leffler
description: scientific article; zbMATH DE number 2702008