On the analytic representation of single valued monogenic functions of one independent variable.
Herr Weierstrass hat in der Abhandlung: Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen, Abhandlungen der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1876, den allgemeinen Ausdruck einer eindeutigen analytischen Function mit einer endlichen Anzahl wesentlich singulärer Stellen festgestellt. Die vorliegende grosse Arbeit des Herrn Mittag-Leffler schliesst sich dem Inhalte nach an diese Untersuchungen von Weierstrass an. Das Ziel, welches Herr Mittag-Leffler verfolgt, ist nämlich die analytische Darstellung der denkbar allgemeinsten eindeutigen Function, für deren singuläre Stellen also keinerlei beschränkende Voraussetzungen gemacht werden. Wer die modernen functionentheoretischen Arbeiten verfolgt hat, wird ohne weiteres die Bedeutung und Schwierigkeit des von Herrn Mittag-Leffler gestellten Problemes würdigen. Um die Resultate, zu welchen Herr Mittag-Leffler gelangt, näher angeben zu können, muss ich zunächst den Begriff der singulären Stelle einer Function in Erinnerung bringen. Eine eindeutige Function von \(x\) verhält sich an einer Stelle \(a\) regulär, wenn ihre Werte in der Nähe dieser Stelle durch eine nach Potenzen von \(x-a\) mit ganzzahligen positiven Exponenten fortschreitende Reihe dargestellt werden können. Das Gebiet der regulären Stellen einer eindeutigen Function ist ein zweifach ausgedehntes, aus einem Stücke bestehendes Continuum, welches, wenn man von dem Falle, wo die Function eine Constante ist, absieht, notwendig begrenzt ist. Die Stellen nun, welche diese Begrenzung bilden, werden die singulären Stellen der Function genannt. Welche Gruppirung diese Stellen auch darbieten mögen, stets kann ihre Gesamtheit als eine Punktmenge \(P\) im Sinne des Herrn Cantor aufgefasst werden, und es werden die Begriffsbestimmungen und Sätze, welche Herr Cantor in seiner Theorie der Mannigfaltigkeiten entwickelt, den naturgemässen Einteilungsgrund für die verschiedenen Möglichkeiten ergeben, welche die singulären Stellen der Functionen darbieten können. Es wird hier vor allem der Begriff der Ableitung einer Punktmenge von Wichtigkeit. Betrachtet man irgend ein System \(P\) von unendlich vielen Punkten, so giebt es stets Verdichtungsstellen, d. h. solche Punkte, in deren Umgebung unendlich viele Punkte von \(P\) gelegen sind, mag die Umgebung so klein angenommen werden, wie man will. Diese Verdichtungsstellen bilden eine neue Menge, welche Herr Cantor als die Ableitung \(P'\) von \(P\) bezeichnet. Besteht \(P\) aus nur endlich vielen Punkten, so existiren keine solche Verdichtungsstellen, was durch die Gleichung \(P'=0\) angedeutet wird. Wenn nun insbesondere \(P\) das System der singulären Punkte einer eindeutigen analytischen Function ist, so leuchtet unmittellbar ein, dass das System der Punkte \(P'\) notwendig in \(P\) enthalten ist. Es kann der Fall eintreten, dass sogar \(P'\) mit \(P\) identisch ist Ein Beispiel liefert die Function \[ \vartheta_3(x)=1+2x+2x^4+2x^9+2x^{16}+\cdots, \] deren singuläre Punkte die Peripherie des Kreises erfüllen, welcher um den Nullpunkt mit dem Radius 1 beschrieben ist. Derartige Functionen, deren singuläre Stellen eine Menge \(P\) von der Eigenschaft \(P'\equiv P\) bilden, mögen mit den Buchstaben \(C(x),\;c(x)\) bezeichnet werden. Herr Mittag-Leffler führt nun in der vorliegenden Abhandlung das Problem der analytischen Darstellung der eindeutigen analytischen Functionen so weit, dass er zeigt, wie jede beliebige solche Function \(F(x)\) auf eine Function \(C(x)\) zurückgeführt werden kann. Dies ist auf zweierlei Weisen möglich. Erstens kann man \[ (1)\quad F(x)=F_x+C(x) \] setzen, wo \(F_x\) einen analytischen Ausdruck bezeichnet, welcher selber im Definitionsbereich der Function \(F(x)\) eine eindeutige monogene Function vorstellt, deren singuläre Stellen unter denen von \(F(x)\) enthalten sind. Zweitens ist auch jede beliebige eindeutige Function \(F(x)\) in der Form \[ (2)\quad F(x)=f_x.c(x) \] darstellbar, wo \(f_x\) wieder einen analytischen Ausduck bezeichnet, welcher alle Nullstellen von \(F(x)\) in sich aufnimmt, so dass \(c(x)\) nirgends im Innern des Definitionsbereiches von \(F(x)\) verschwindet. Dem Beweise für die Möglichkeit der erst genannten Darstellung einer beliebigen Function \(F(x)\) liegt folgender Satz zu Grunde, welcher eine Verallgemeinerung des wichtigen nach Herrn Mittag-Leffler benannten Satzes bildet: ``Es mögen die Stellen \(a_1,a_2,\dots,a_\nu,\dots\) nach der Ausdrucksweise des Herrn Cantor eine isolirte Punktmenge \(Q\) bilden, d. h. es gebe für jede Stelle \(a_\nu\) eine Umgebung, welche alle anderen Stellen \(a_1,a_2,\dots, a_{\nu-1}, a_{\nu+1},\dots\) ausschliesst. Ferner sei für jede Stelle \(a_\nu\) eine ganze (rationale oder transcendente) Function \[ G_\nu\left(\frac{1}{x-a_\nu}\right) \] gegeben, welche mit \(\frac{1}{x-a_\nu}\) verschwindet. Dann ist es stets möglich, einen analytischen Ausdruck zu bilden, welcher sich überall regulär verhält, ausgenommen an den Stellen, welche der Punktmenge \(Q\) oder deren Ableitung \(Q'\) angehören, und welcher an der Stelle \(a_\nu\) der Punktmenge \(Q\) in der Form \[ G_\nu(\frac{1}{x-a_\nu})+{\mathfrak P}(\frac{1}{x-a_\nu}) \] darstellbar ist, wo \({\mathfrak P}(x-a_\nu)\) eine gewöhnliche Potenzreihe von \((x-a_\nu)\) bezeichnet.'' Wenn nun die singulären Stellen einer Function \(F(x)\) eine isolirte Punktmenge \(Q\) enthalten, so kann man zufolge des vorstehenden Satzes einen analytischen Ausdruck \(F_x^{(1)}\) bilden der Art, dass \(F(x)-F_x^{(1)}\) dieselben singulären Stellen wie \(F(x)\) besitzt, mit Ausnahme der Stellen \(Q\). Ist jetzt unter den singulären Stellen von \(F(x)-F_x^{(1)}\) wieder eine isolirte Punktmenge \(Q_1\) enthalten, so kann ein analytischer Ausdruck \(F_x^{(2)}\) gefunden werden, so dass \(F(x)-F_x^{(1)} -F_x^{(2)}\) sich an den Stellen on \(Q_1\) regulär verhält, u. s. f. Herr Mittag-Leiffer zeigt nun, indem er sich auf die Cantor'sche Theorie der Mannigfaltigkeiten stützt, dass dieser Process zum Abschluss und somit schliesslich zu der Darstellung (1) der Function \(F(x)\) führt. Aehnliche Betrachtungen dienen zum Beweise der Darstellbarkeit von \(F(x)\) in der Form \(f_x.c(x)\).
Holomorphic functions with prescribed singularities
scientific article; zbMATH DE number 2702008