On the generalization of a formula of Abel.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the generalization of a formula of Abel.
zbMATH Open document ID: 16.0354.01
DOI: 10.1007/BF02418416
author: N. J. Sonin
published in: Acta Mathematica
publication date: 1884-01-01T00:00:00Z
review text: Die Abel'sche Formel, um welche es sich hier handelt, lautet: \[ f(x)=\frac{\sin{}n\pi}{\pi} \int_0^x\frac{da}{(x-a)^{1-n}} \int_0^a\frac{f'(z)dz}{(a-z)^n}\cdot \] Herr Sonine entwickelt folgenden Satz, welcher diese Formel als speciellen Fall enthält: Die Functionen \(\sigma(x)\) und \(\psi(x)\) seien so bestimmt, dass identisch, d. h. für jedes \(z\), \[ z.\int_0^1\sigma(z\mu)\psi(z-z\mu)d\mu=1 \] ist. Dann gilt die Relation \[ \int_a^x f(\xi)d\xi=\int_a^x\psi(x-\lambda)d\lambda \int_a^\lambda f(\xi)\sigma(\lambda-\xi)d\xi \] für jede beliebige Function \(f(\xi)\). Wählt man hier \[ \sigma(x)=x^{-n},\quad \psi(x)=\frac{\sin{}n\pi}{\pi}\,x^{n-1} \] und setzt \(f'(\xi)\) an Stelle von \(f(\xi)\), so ergiebt sich die Abel'sche Formel. Eine sehr allgemeine Art, die Functionen \(\sigma(x), \psi(x)\) der gestellten Bedingung gemäss zu bestimmen, ist, wie Herr Sonine ausführt, die folgende: Es sei \[ \varphi(x)=1+c_1y+c_2y^2+\cdots \] eine beliebige Potenzreihe und es werde \(\frac{1}{\varphi(y)}\) in die Reihe \[ \frac{1}{\varphi(y)}=1+d_1y+d_2y^2+\cdots \] entwickelt. Dann kann man \[ \begin{aligned} & \sigma(x)=x^{-p}\left[\frac{1}{\varPi(-p)} +\frac{c_1.xy}{\varPi(1-p)}+\frac{c_2.(xy)^2}{\varPi(2-p)}+\cdots\right], \\ & \psi(x)=x^{-q}\left[\frac{1}{\varPi(-q)} +\frac{d_1.xy}{\varPi(1-q)}+\frac{d_2.(xy)^2}{\varPi(2-q)}+\cdots\right] \end{aligned} \] annehmen. Dabei bezeichnen \(p\) und \(q\) zwei positive, nur der Bedingung \(p+q=1\) unterworfene Grössen, und es ist \(\varPi\) das Gauss'sche Zeichen für die Gammafunction. Dieses Resultat verallgemeinert Herr Sonine in folgender Weise. Die aus der Reihe \[ \varphi(x)=\sum_{n=0}^\infty c_ny^n \] abgeleitete Reihe \[ x^s\sum_{n=0}^\infty \frac{c_n(xy)^n}{\varPi(n+s)} \] werde allgemein mit \(\varphi_s(x)\) bezeichnet. Dann ist für eine beliebige Function \(f(\xi)\) \[ \int_a^x f(\xi)\varphi_{r+s+1}(x-\xi)d\xi= \int_a^x\psi_r(x-\lambda)d\lambda \int_a^\lambda f(\xi)\sigma_s(\lambda-\xi)d\xi \] unter der Voraussetzung, das…
Mathematics Subject Classification ID: 45E10
zbMATH DE Number: 2702009
zbMATH Keywords: Abel's integral equation
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q3506242
description: scientific article; zbMATH DE number 2702009