The system of periods of functions of real variables.
type: Item
instance of: scholarly article
title: The system of periods of functions of real variables.
zbMATH Open document ID: 16.0369.01
published in: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften
publication date: 1884-01-01T00:00:00Z
review text: Eine Function \(F\) von \(p\) Variabeln \(x_1,x_2,\dots,x_p\) besitzt die Periode \((a_1,a_2,\dots,a_p)\), wenn für alle Werte der Variabeln die Gleichung \[ F(x_1,x_2,\dots,x_p)= F(x_1+a_1,x_2+a_2,\dots,x_p+a_n) \] besteht. Zur Abkürzung möge eine Periode ``einfach'' heissen, wenn die sie constituirenden Grössen \(a_1, a_2, \dots, a_p\) sämtlich gleich Null und mit Ausnahme einer einzigen, welche den Wert 1 besitzt. Es lässt sich dann der Satz, dessen Aufstellung und Begründung den hauptsächlichsten Inhalt der vorliegenden Abhandlung bildet, folgendermassen aussprechen: ``Jede eindeutige gleichmässig stetige Function von \(p\) reellen Variabeln, welche eine bestimmte Zahl von reellen Perioden besitzt, geht in eine Function mit lauter einfachen Perioden über, wenn an Stelle der ursprünglichen Variabeln geeignete lineare Verbindungen derselben als neue Variabeln eingeführt werden.'' Dabei sind die Coefficienten dieser linearen Verbindungen selber lineare Funtionen mit rationalen Zahlencoefficienten von den Perioden der ursprünglichen Function. Ein Umstand, welcher hierbei Beachtung verdient, ist der, dass die Function, in welche nach vorstehendem Satze eine beliebige vorgelegte periodische Function transformirt werden kann, häufig von einer geringeren Zahl von Argumenten abhängt, als die ursprüngliche Function. Jedesmal nämlich, wenn eine gleichmässig stetige Function von \(m\) reellen Veränderlichen unendlich kleine Perioden besitzt, lässt sich dieselbe als Function von weniger als \(m\) linearen Verbindungen der Variabeln darstellen. Zur Feststellung der Existenz unendlich kleiner Perioden dient der Satz, ``dass die Werte irgend welcher \(n\) Grössen sich durch rationale Brüche desselben Nenners mit solcher Annäherung darstellen lassen, dass die \(n\) Wertunterschiede, noch mit dem Nenner multiplicirt, beliebig klein werden.'' Dieser bei vielen Untersuchungen wichtige Satz wird in der vorliegenden Abhandlung beiläufig in wenigen Zeilen bewiesen. Im Schlussparagraph…
Mathematics Subject Classification ID: 32A99
zbMATH DE Number: 2702024
zbMATH Keywords: Periodic functions of several real or complex variables
MaRDI profile type: Publication
author: Leopold Kronecker
description: scientific article; zbMATH DE number 2702024