On the point of a minimal sum of given points.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the point of a minimal sum of given points.
zbMATH Open document ID: 16.0508.02
author: R. Sturm
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1884-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/148577
review text: Sind die Punkte \(A_1, A_2, A_3,\dots, A_n\) gegeben, so kann der Punkt, für den die Summe der Entfernungen von jenen Punkten ein Minimum ist, entweder ein Punkt \(M\) sein, welcher nicht mit einem der gegebenen Punkte zusammenfällt, oder es kann als ein solcher Punkt kleinster Entfernungssumme einer der gegebenen Punkte selbst, etwa \(A_n\) auftreten. Bezeichnet man im ersten Fall den Winkel, den \(MA_i\) mit einem beliebigen von \(M\) auslaufenden Richtstrahl bildet, mit \({\mathfrak a}_i\), so prägt sich die Minimalbedingung. für \(M\) in der Form aus \(\sum\cos{\mathfrak a}_i=0\). Liegt dagegen der zweite Fall vor, ist also etwa \(A_n\) der Punkt kleinster Entfernungssumme, so wird, wenn \({\mathfrak a'}_i\) den Winkel bedeutet, welchen \(A_nA_i\) mit einem beliebigen von \(A_n\) auslaufenden Richtstrahl bildet, als Bedingung gewonnen \[ 1\geqq\sum_1^{n-1}\cos{\mathfrak a'}_i\geqq -1. \] Diese Bedingungen sind nicht nur notwendig, sondern auch ausreichend. Ist jene erfüllt, so giebt es einen von den \(A_1, A_2, \dots, A_n\) verschiedenen Punkt \(M\), für welchen die Entfernungssumme ein Minimum ist, und ist diese erfüllt, so wird \(A_n\), einer der gegebenen Punkte, Minimumspunkt. Damit ist ein Punkt \(M\) bez. \(A_n\) als ein Punkt absoluten Minimums nachgewiesen. Diese Eigenschaft, dass der Punkt \(M\) bez. \(A_n\) eine kleinere Entfernungssumme hat, als ein beliebiger Punkt des Raumes, ist in keiner der Arbeiten, welche sich mit dieser Frage beschäftigt haben, bisher dargethan; hier wird sie auf eine höchst einfache und durchsichtige Weise entwickelt. Die beiden oben ausgesprochenen Minimalbedingungen lassen sich in folgende Form kleiden. Giebt es einen von den \(A_1, A_2,\dots, A_n\) verschiedenen Punkt \(M\), für welchen das Minimum statthat, so müssen die Strecken \(MA_1, MA_2,\dots, MA_n\) in Richtung und Sinn übereinstimmen mit den Seiten eines im allgemeinen räumlichen gleichseitigen \(n\)-Ecks, oder was dasselbe ist, \(n\) gleiche Kräfte, welche in dem…
Mathematics Subject Classification ID: 33B10
Mathematics Subject Classification ID: 49Q10
Mathematics Subject Classification ID: 51M16
Mathematics Subject Classification ID: 51M25
Mathematics Subject Classification ID: 53D50
zbMATH DE Number: 2702249
zbMATH Keywords: sum of distances for points
zbMATH Keywords: points of minimal sums
zbMATH Keywords: trigonometric descriptions
zbMATH Keywords: outflowing directed rays
zbMATH Keywords: absolute minima
zbMATH Keywords: sides of n-edges
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2702249