Étude des différentes surfaces du quatrième ordre à conique double on cuspidale (générale ou décomposée) considérées comme des projections de l'intersection de deux variétés quadratiques de l'espace à quatre dimensions.
Die sehr umfangreiche Arbeit enthält zunächst eine ausführliche historische Einleitung, in welcher die geometrischen Vorarbeiten über die Flächen vierten Grades mit einem Doppelkegelschnitt von Kummer, Moutard, Clebsch, Darboux, Casey, Zeuthen, Cremona, Lie, Klein, Reye, Loria, Korndörffer u. a. besprochen werden. Alsdann wendet sich der Herr Verfasser zu dem eigentlichen Gegenstande seiner Untersuchung. In dem Raume von vier Dimensionen (lineare Vierdehnung nach Herrn Hoppe) haben zwei beliebige Varietäten zweiten Grades (d. h. Dreidrehungen zweiten Grades) eine Fläche vierten Grades gemeinsam, deren Projection von irgend einem Punkte aus auf eine lineare Dreidrehung, d. h. auf einen gewöhnlichen Raum, eine Fläche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt ist. Denselben Gedanken hat auch Herr Veronese einer Arbeit zu Grunde gelegt (siehe das vorige Referat, JFM 16.0595.01), ihn aber nur vorübergehend benutzt, um zu einer Construction dieser Flächen im gewohnlichen Raume zu gelangen, während in der vorliegenden Arbeit diese Darstellungsweise als das Fundament für eine eingehende, in gewisser Hinsicht erschöpfende, Theorie der behandelten Flächengattung verwandt wird. Der Herr Verfasser wird durch diese Methode nicht nur auf die wichtigsten bekannten Eigenschaften derselben in sehr einfacher Weise geführt, sondern er entdeckt eine grosse Anzahl neüer Eigenschaften und findet ausser den bereits bekannten Arten dieser Flächen eine fast gleiche Zahl neuer, so dass seine Klassification ihn auf 70 verschiedene Arten führt. Ausser den 18 Arten, bei welchen der Doppelkegelschnitt allgemein ist, ergeben sich z. B. auch die fünf verschiedenen Arten von Flächen vierter Ordnung und dritter Klasse, ferner mehrere Arten von Flächen mit einem Cuspidalkegelschnitt, von denen bisher nur die allgemeinste Art untersucht ist, und welche als specielle Fälle der Flächen mit einem Doppelkegelschnitt zu betrachten sind, wenn auf dem Doppelkegelschnitt zwei Berührungspunkte der beiden Schalen der Fläche vorhanden sind. Auch die Flächen mit zwei Doppelgeraden werden weit eingehender untersucht als sonst, unter anderen diejenige Art, bei welcher im Durchschnitt der Doppelgeraden ein dreifacher Flächenpunkt auftritt von denen nur ein specieller Fall bekannt ist, die Steiner'sche Fläche. Auch Flächen mit einer Doppelgeraden und einer cuspidalen, sowie solche mit zwei cuspidalen Geraden treten hier naturgemäss als specielle Fälle auf, während sie bisher von den Geometern nicht weiter besonders beachtet worden sind. Es ergiebt sich für jede der Flächenarten die Verteilung der Geraden und der Kegelschnittreihen, sowie die ebene Abbildung von der niedrigsten Ordnung. Es wird nachgewiesen, auf wieviel verschiedene Arten die Fläche durch reciproke Radien in sich selbst abgebildet werden kann - also anallagmatisch ist. Auch das Studium der singulären Punkte wird eingehend behandelt. Die Eigenschaften der Cykliden, namentlich die Focaleigenschaften werden durch die mehrdimensionalen Raumbetrachtungen in sehr einfacher Weise gewonnen. Hierbei möge beiläufig darauf hingewiesen werden, dass der Herr Verfasser den Begriff des Brennpunktes anders definirt als Herr Darboux. Während nämlich Herr Darboux unter einem Brennpunkt einer Fläche den Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius Null versteht, welche die Fläche doppelt berührt, nennt der Herr Verfasser Brennpunkt den Mittelpunkt einer Nullkugel, welche die Fläche längs einer Curve berührt. Aus dieser Inhaltsangabe, welche im wesentlichen in der Einleitung enthalten ist, wird man die Fruchtbarkeit der vom Herrn Verfasser angewandten Methode erkennen. Man kann wohl sagen, dass in dem Princip der Projection aus dem vierdimensionalen Raum, wie es in dieser Arbeit und der des Herrn Veronese gleichzeitig angewandt ist, gleichsam die organische Grundlage für die Theorie der betrachteten Flächen gewonnen ist, gerade so, wie die Eigenschaften der ebenen Curven vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten am einfachsten durch die Projection der Raumcurven vierter Ordnung und erster Art erkannt werden.
scientific article; zbMATH DE number 2702380