On the functions of two independent variables which are analoguous to modular functions.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the functions of two independent variables which are analoguous to modular functions.
zbMATH Open document ID: 15.0432.01
DOI: 10.1007/BF02612158
published in: Acta Mathematica
publication date: 1883-01-01T00:00:00Z
review text: Man weiss, dass die bestimmten Integrale \(\int^h_g\frac{dt}{\sqrt{t(t-1)(t-x)}},\) worin \(g\) und \(h\) zwei der Grössen \(0,1,x,\infty\) bezeichnen, als Functionen von \(x\) einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen, und falls \(\omega_1\) und \(\omega_2\) zwei passende Lösungen derselben sind, die Function \(x\) von \(u\) gegeben durch die Gleichung \(\omega_2:\omega_1=u\) eindeutig ist und nur für die Halbebene auf der positiven Seite der reellen \(u\)-Axe definirt ist. Dieser Modularfunction der elliptischen Functionen analog werden eindeutige Functionen zweier Variablen definirt, zu denen man durch die Betrachtung der bestimmten Integrale \[ \int^h_g\frac{dt}{\root 3 \of{t(t-1)(t-x)(t-y)}} \] geführt wird, worin \(g\) und \(h\) zwei der Grössen \(0, 1, x, y, \infty\) bezeichnen. Diese genügen als Functionen von \(x\) und \(y\) nach einem allgemeineren vom Verfasser bewiesenen Satze (C. R. 1880 und Ann. de l'Éc. N. 1881; s. F. d. m. XII. p. 328, JFM 12.0328.02) einem System von drei simultanen linearen partiellen Differentialgleichungen, die drei und nur drei gemeinsame linear unabhängige Lösungen haben. Wählt man drei zur algebraischen Gleichung zwischen \(z\) und \(t\) \[ z^3=t(t-1)(t-x)(t-y), \] deren Geschlecht drei ist, gehörige Abel'sche Integrale erster Gattung \(u_1, u_2, u_3,\) die so normirt sind, dass nach der Riemann'schen Bezeichnung der Periodicitätsmodul von \(u_{\mu}\) an dem Schnitte \(a_{\mu}\) gleich 1, an den übrigen Schnitten \(a\) gleich 0 ist, so hängen die 6 Periodicitätsmoduln an den Schnitten \(b\) nur von zwei Grössen \(u, v\) ab. Die quadratische Form \(\varSigma m_{\mu}m_{\nu}\alpha_{\mu\nu}\), wo \(\alpha_{\mu\nu}\) den imaginären Bestandteil des Periodicitätsmoduls von \(u_{\mu}\) an dem Schnitte \(b_{\nu}\) bezeichnet, muss definirt und negativ sein. Diese Bedingung reducirt sich auf die von den Werten \(u, v\), wenn \(u=u'+iu''\), \(v=v'+iv''\) gesetzt wird, zu erfüllende Ungleichung: \[ 2v'+u'^2+u''^2<0. \] …
Mathematics Subject Classification ID: 14K20
Mathematics Subject Classification ID: 11F06
zbMATH DE Number: 2703890
zbMATH Keywords: abelian integrals
zbMATH Keywords: modular group
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q110507055
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02612158
OpenAlex ID: W2013014266
author: Charles Émile Picard
description: scientific article; zbMATH DE number 2703890