Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen. (Festschrift zu Herrn Ernst Eduard Kummers fünfzigjährigem Doctor-Jubiläum, 10 September 1881)
Ein durch die Grössen \(\Re',\Re'',\Re'''\) gebildeter ``Rationalitätsbereich'' \((\Re',\Re'',\Re''',\ldots)\) umfasst alle rationalen Functionen der \(\Re\) mit ganzzahligen Coefficienten; für algebraische Betrachtungen reicht es aus, die \(\Re\) als Variable anzunehmen, bis auf Ein Element, welches eine algebraische Function der übrigen wird. Sind alle \(\Re\) Variable, oder existirt nur ein \(\Re'=1\), dann ist der Bereich ein ``natürlich abgegrenzter.'' Jede Wurzel einer irreductiblen Gleichung \(n^{\mathrm ten}\) Grades, deren Coefficienten dem \((\Re',\Re'',\Re''',\ldots)\) angehören, heisst eine ``algebraische Function \(n^{\mathrm ter}\) Ordnung der \(\Re\)''; die \(n\) Wurzeln derselben Gleichung sind ``conjugirte algebraische Functionen''. Adjungirt man den \(\Re\) eine solche Wurzel \({\mathfrak G}'\), so bildet \(({\mathfrak G}',\Re',\Re'',\dots)\) ``den Bereich der Gattung \({\mathfrak G}'\)''. Ein jeder Bereich \(({\mathfrak G}', {\mathfrak G}'',\dots,\Re',\dots)\) kann durch \(({\mathfrak G},\Re',\Re'',\dots)\) dargestellt werden, wenn \(\mathfrak G\) eine passend gewählte Function der \({\mathfrak G}',{\mathfrak G}'',\dots\) ist. Erst mit der Fixirung des Rationalitätsbereiches wird die Frage nach der Zerlegbarkeit ganzer Functionen zu einer bestimmten und mit ihr der Begriff von Reductibilität und Irreductibilität; diese Begriffe erhalten einen fassbaren Untergrund durch die Angabe einer Methode, welche mit den einfachsten Hülfsmitteln entscheiden lehrt, ob eine Function in einem gegebenen Bereiche irreductibel ist, bezw. wie ihre irreductiblen Teiler zu finden sind. Eine Grösse \(x\) heisst eine ``ganze algebraische Function der \(\Re\)'', wenn sie einer Gleichung genügt, welche zum höchsten Coefficienten 1 hat, während die anderen ganze, ganzzahlige Functionen der \(\Re\) sind. Ein Fundamentalsatz der arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen ist der, dass es eine endliche Anzahl von ganzen algebraischen Grössen \(x',x'',x''',\ldots x^{(n+m)}\) giebt, durch welche alle ganzen algebraischen Grössen der Gattung in der Form \[ \varphi'.x'+\varphi''.x''+ \cdots +\varphi^{(n+m)}.x^{(n+m)} \] darstellbar sind, wo die \(\varphi\) ganze, ganzzahlige Functionen der \(\Re\) bedeuten; ein solches System \(x',x'',\ldots\) heisst ein Fundamentalsystem der Gattung''. In besonderen Fällen kann \(m=0\) werden, so z. B. in einem natürlich abgegrenzten Bereiche \((\Re',\Re'',\ldots \Re^{(n)})\) für alle Gattungen, die durch irgend eine rationale Function der \(n\) Wurzeln der Gleichung \[ x^n+\Re' x^{n-1}+ \Re'' x^{n-2} + \cdots =0 \] repräsentirt werden. Der Inbegriff aller Discriminanten von je \(n\) Elementen eines Fundamentalsystems bildet einen Complex von Invarianten derart, dass Alles ihnen Gemeinsame auch für die Discriminante von je \(n\) Functionen der Gattung gilt. Für \(m=0\) erhält man nur eine, ``die Discriminante der Gattung''; sie ist demnach ein gemeinsamer Teiler aller Discriminanten der Functionen der Gattung, und der grösste gemeinsame Teiler aller dieser teilt die \(\frac{n(n-1)^{\mathrm te}}{2}\) Potenz der Gattungsdiscriminante. Für die Weiterführung der Theorie ist die Behandlung eines Systems von Gleichungen mit ihren Discriminanten und Resolventen nötig; eins der Hauptresultate dieser kurz mitgeteilten principiellen Untersuchung ist, dass eine Reihe voll Teilresolventen \(F_k = 0\) auftritt, wobei die Resolvente \(k^{\mathrm ter}\) Stufe \(F_k=0\) ein System von \(k\) Gleichungen vertritt, und dass der gesammte Inhalt jedes Teilers der Resolvente eines Gleichungssystems für \(n\) Grössen durch ein System von nur \(n+1\) Gleichungen dargestellt, also auch jedes System von beliebig vielen Gleichungen durch ein solches von nur \(n+1\) Gleichungen ersetzt werden kann. Von dem hierdurch erlangten Gesichtspunkte aus lässt sich die wahre Stellung der Galois'schen Theorie erkennen. Die Betrachtung der Resolvente des durch eine algebraische Gleichung vertretenen Gleichungssystems zeigt, wie Galois von einer speciellen Gleichung ausgehend zu allgemeinen Functionen von \(n\) unbestimmten Grössen gelangt, welche die Eigenschaft haben, bei gewissen Permutationen derselben ihren Wert zu behalten. Diese ``Gruppe der Substitutionen'' liefert die für die algebraischen Fragen einzig wesentlichen Eigenschaften. Die für eine solche Gruppe unveränderlichen Functionen bilden eine ``Gattung von Functionen der \(x_1,x_2,\ldots x_n''\). Je nachdem durch die Adjungirung einer Gattung \(\mathfrak g\) die ursprungliche Gleichung zerfällt oder nicht, ist die Gattung eine ``eigentliche'' oder eine ``uneigentliche''. Durch den erweiterten Bereich \((\mathfrak f_1,\; f_2,\ldots\; f_n,\; g)\) der Gleichung \[ x^n-{\mathfrak f}_1x^{n-1} + {\mathfrak f}_2 x^{n-2} - \cdots \pm {\mathfrak f}_n =0 \] wird, falls \(\mathfrak g\) eine eigentliche Gattung ist, eine ``Classe'' von algebraischen Functionen definirt, derart, dass alle diejenigen Gleichungen in eine Classe gehören, bei welchen die einer bestimmten Gattung \(\mathfrak g\) angehörigen Functionen der Wurzeln zugleich dem festgesetzten Rationalitätsbereiche angehören. Diese Gattung heisst ``Affect- Gattung'' der Gleichung. Jeder irreductible Teil eines Gleichungssystems, welches \(n\) conjugirte algebraische Grössen definirt, kann durch \(n+1\) Gleichungen und auch im Allgemeinen durch nicht weniger dargestellt werden, welche im die Form \[ {\mathfrak g} (x_1,x_2,\ldots x_n)=c_0, \;\; {\mathfrak f}_k (x_1,x_2,\ldots x_n) = c_k \quad (k=1,2,\ldots n) \] gebracht werden können. Das Fundamentalsystem für die Galois'sche Gattung der Ordnung \(n!\) kann durch die \(n!\) Elemente \(x_1^{h_1} x_2^{h^2} \ldots x_{n- 1}^{h_{n-1}} \) gegeben werden, wo \[ h_k=0,1,\ldots,n-k; \quad k= 1,2,\ldots,n-1 \] ist; dass man bei dem Fundamentalsystem aber auch gebrochene Zahlcoefficienten zu, so kann man jene \(n!\) Elemente bei der Gattung \(\mathfrak g\) von der Ordnung \(r\) auf \(\varrho=n!:r\) reduciren. Aus der Bemerkung, dass für irgend welche Werte von \(\mathfrak f_1, f_2,\ldots\), für die nur nicht die Discriminante der Gleichung verschwindet, sich stets Functionen der Gattung \(\mathfrak g\) bestimmen lassen, deren sämmtliche conjugirte unter einander verschieden sind, wird ein Existenzbeweis für die Wurzeln algebraischer Gleichungen, dem zweiten Gauss'chen Beweise nachgebildet, in grosser Einfachheit gegeben. Der Zweck des zweiten Teils der Arbeit liegt in der Erhaltung der Begriffsbestimmungen und Gesetze beim Uebergang vom Rationalen zum Algebraischen. Sind \(x, x', x''\) ganze algebraische, \(u', u'', u''`,\ldots\) unbestimmte Grössen, und sondert man von der Norm des Complexes \( x+u'x'+u''x''+\cdots\) den grössten von den \(u\) unabhängigen Teiler ab, dann bleibt eine ``primitive Form'' \(n^{\mathrm ten}\) Grades \(Fm (x+u'x'+\cdots)\) zurück, und es stellt, ohne irgend welche Symbolik, der ``Divisor'' oder ``Modul'' \[ \frac{x+u'x'+\cdots}{ Fm(x+u'x'+\cdot)} = \text{ mod. }(x+u'x'+ \cdot) \] den grössten gemeinsamen Teiler der Grössen \(x\) dar. Durch die Einführung der \(u\) werden alle Specialitäten abgestreift. Zwei Divisoren, welche dieselben Elemente \(x,x'\ldots\) haben, sind einander ``absolut aequivalent'', d. h. jeder teilt den andern. Der grösste Teiler der beiden Divisoren \[ \text{ mod. } (x+u'x'+\cdots),\;\; \text{ mod. } (y+v'y'+\cdots) \] ist \[ \text{ mod. } (x+u'x'+\cdots +y+v'y'+\cdots); \] ihr Product wird \[ \text{ mod. } (xy+w'xy'+w''x'y+ \cdots) \] Ist das Product zweier Divisoren durch einen dritten teilbar, der mit dem ersten keinen gemeinsamen Teiler hat, so ist der zweite durch den dritten teilbar. Man kann den Begriff des Moduls erweitern: eine ganze rationale Function von \(u,v,w,\ldots\), deren Coefficienten ganze Grössen des natürlichen Bereiches \((\Re',\Re'',\ldots)\) sind, heisst eine ganze Form; sie ist primitiv, wenn die Coefficienten ihrer Norm keinen gemeinsamen Teiler haben. Ein, ähnlich wie oben für \(x+u'x'+\cdots\), aus einer Form gebildeter Quotient heisst ein ``algebraischer Modul oder Divisor''. Auch hier bedingt Gleichheit der Elemente die absolute Aequivalenz, so dass jeder ``allgemeine'' einem ``linearen'' Modul aequivalent ist. Ein algebraischer Divisor ist irreductibel oder prim, wenn er nicht einem Producte algebraischer Divisoren der festgesetzten Gattung aequivalent ist; es ist möglich, einen Divisor darauf hin zu prüfen, resp. zu zerlegen; diese Zerlegung ist durchführbar und völlig bestimmt. Relativ äquivalente Divisoren sind im Sinne der absoluten Aequivalenz nur durch Factoren von einander unterschieden, welche ganze algebraische Grössen der festgesetzten Art sind; der Inbegriff aller einander relativ äquivalenten Divisoren constituirt eine Classe; die Zahl der Classen ist eine endliche; jeder Divisor, zu einer gewissen Potenz erhoben, giebt eine algebraische Grösse und ist also durch eine algebraische Zahl höherer Gattung ersetzbar. Hinsichtlich der weiteren Ziele der fundamentalen Theorie der Association muss auf den \(\S\) 19 und \(\S\) 22 der Arbeit selbst verwiesen werden; vgl. besonders S. 94-96. Formen eines Bereiches können, auch wenn ihre Coefficienten keinen gemeinsamen Teiler besitzen, dennoch etwas Gemeinsames in höherem Sinne haben, etwa wie Flächen ausser gemeinsamen Flächenstücken noch Linien und Punkte gemein haben können. Dem Studium dieser Verhältnisse ist die Einführung von Divisoren-Systemen gewidmet, durch welche gleichzeitig eine Erweiterung des Begriffes der Division beim Uebergang von einer zu mehreren Variablen gegeben wird. Es werde gesetzt \[ G(x_1,x_2,\ldots x_n)\equiv 0 (\text{ mod. }F_1,f_2,\ldots F_n), \] wenn \[ G(x_1,x_2,\ldots x_n)=\sum_{h=1}^n P_h(x_1,x_2,\ldots x_n) \cdot F_h(x_1,x_2,\ldots x_n) \] ist, so dass die Darstellbarkeit als homogene lineare Function von mehreren ganzen Functionen \(F_h\) an die Stelle der Teilbarkeit durch eine Function \(F\) tritt. ie Gesetze solcher ``Modul- oder Divisoren-Systeme'' werden studirt; es finden sich solche Systeme verschiedener Stufen, wie sie in dem obigen Beispiele den gemeinsamen Flächen (erster Stufe), Linien (zweiter Stufe), Punkten (dritter Stufe) entsprechen. Hiernach eröffnet sich ein neuer Einblick in die Theorie der Formen; die Aequivalenz und die Primitivität, die bisher gewissermassen nur als Eigenschaften erster Stufe definirt waren, lassen sieh präcisiren und auf höhere Stufen ausdehnen. Jede, ein Modulsystem enthaltende Grösse ist als Aggregat der Functionen dieses Systems darstellbar, bei welchem die Coefficienten Grössen der Gattung resp. der Species sind. Es ist aber auch eine Reduction eines jeden Modulsystems auf ein äquivalentes möglich, bei welchem die Coefficienten lediglich dem Stammbereiche \([\Re',\Re'',\ldots]\) angehören. Irgend eine in dieser Weise gebildete Form heisst ``Grundform'' oder ``Fundamentalform.'' Für den Fall des absoluten Rationalitäts-Bereichs \(\Re=1\) existiren für alle Formen äquivalente lineare Grundformen von \(n\) Gliedern \[ u'x'+u''x''+ \cdots + u^{(n)}x^{(n)}, \] in welchen \( x',x'',\ldots\) ganze algebraische Zahlen des Art- Bereichs bedeuten. Wenn für einen Art-Bereich \(({\mathfrak S})\) ein Fundamentalsystem von \((n + m)\) Elementen \(x',x'',\ldots^{(n+m)}\) besteht, und man setzt \[ {\mathfrak F}(x)=\prod^n_{i=1}(x-u'x_i'-u''x_i''-\cdots - u^{(n)} x^{(n)}), \] diese erhält man sämmtlich, sobald die \(u\) durch ganze Grössen aus \([\Re',\Re'',\ldots]\) ersetzt werden. Versteht man ferner unter der Discriminanten-Form der Art eine Form, deren Coefficienten die sämmtlichen Determinanten-Quadrate \(|x_h^{(k)}|^2\) sind, und welche somit der grösste gemeinsame Teiler. aller Discriminanten von je \(n\) ganzen algebraischen Formen des Art-Bereichs und als solcher deren vollständige Invariänte ist, dann folgt, dass die Discriminante der Fundamentalgleichung ein Teiler der \(\frac 12(n-1)n^{\mathrm ten}\) Potenz der Discriminanten- Form sei, und daher ausser ihr nur noch Teiler derselben enthalte. Handelt es sich um ein Fundamentalsystem \(x',x'',\ldots\) einer Gattung, dann stimmt die Discriminante der Fundamentalgleichung entweder mit der Discriminanten-Form der Gattung im Sinne der vollständigen absoluten Aequivalenz überein, oder sie enthält nur noch solche Divisoren der Form, welche Formen von höherer als der ersten Stufe oder Zahlen aus der Reihe \(2, 3,... n - 2\) sind. Als wesentliches Resultat ergiebt sich hieraus, dass die gesammte arithmetische Theorie der algebraischen Grössen auf eine Theorie der ganzen ganzzahligen Functionen von Variablen und Unbestimmten zurückgeführt werden kann.
scientific article; zbMATH DE number 2704903