Elemente der Quaternionen. Deutsch von P. Glan. Bd. 1.
Seitdem Hankel 1867 in seiner ``Theorie der complexen Zahlensysteme'' auf 50 Seiten eine übersichtliche und alles Wesentliche umfassende Darstellung der Quaternionen-Rechnung gegeben hat, sind verschiedene Versuche gemacht worden, dieselbe durch Lehrbücher in Deutschland einzubürgern, so durch Unverzagt, Odstrcil, Graefe. Hierzu musste schon die zunehmende Verwendung dieser Methode in England und Amerika auffordern, (neuerdings seit dem Erscheinen von Laisant's trefflichem Lehrbuch, auch in Frankreich). Zu diesen durch Kürze und Uebersichtlichkeit sich auszeichnenden selbständigen Arbeiten gesellen sich nun neuerdings Uebersetzungen der englischen Originalwerke von Hamilton und Tait. Herr Glan hat sicherlich sehr recht daran getan, den Meister der Theorie selbst dem deutschen Publikum vorzuführen, und von seinen Werken dasjenige (posthume) zur Uebersetzung zu wählen, welches schon nach dem Zeugnisse Hankel's die Kenntnis der vom Verfasser bei Lebzeiten veröffentlichten Schriften überflüssig macht. Der Stoff ist in zwei Bände verteilt, von welchen der vorliegende erste die vollständige Theorie mit Beispielen enthält, während der zweite nur Anwendungen geben soll. Eine ausführliche vergleichende Kritik der Quaternionenthorie an der Hand dieses authentischen Lehrbuches zu geben, behält sich Referent für eine andere Stelle vor, da dieselbe den hier zur Verfügung stehenden Raum weit überschreiten würde. Nur einige Bemerkungen mögen die kurze Inhaltsangabe begleiten. Der erste vorbereitende Teil enthält die Rechnung mit Strecken (Vectoren), im Wesentlichen übereinstimmend mit der von Möbius und Grassmann her bekannten Darstellung. Die hier eingeflochtene Theorie der geometrischsn Netze hat inzwischen eine ganz gleichartige, sogar zu derselben Symbolik führende, übrigens selbständige Behandlung durch Noth erfahren, welcher von der Ausdehnungslehre her dazu gelangte. (S. F. d. M. XIII. 1881. 425, JFM 13.0425.01). Die sonstigen Anwendungen der Streckenrechnung enthalten zwar Fortschritte gegenüber den gewöhnlichen Coordinaten-Methoden, sind aber durch die Grassmann'sche Methode der Punktgleichungen wesentlich überholt. Es ist an verschiedenen Stellen zu sehen, wie Hamilton selbst das Steckenbleiben in der Vectoren-Rechnung als einen Mangel empfunden und Anläufe zu einer Punktrechnung gemacht hat, so z. B. S. 31, wo der Schnittpunkt \(P?\), der Strecken \(PA\) und \(BC\) in der Form \( P_1 = PA.BC \) dargestellt wird, oder S. 61, wo \(DABC = - ADBC\) das Volumen eines Tetraeders bedeutet. Da aber Hamilton diese Ausdrücke, welche bei Grassmann planimetrische Producte vorstellen und als notwendige Folgerungen aus einfachen Grundbeziehungen sich ergeben, nur als willkürlich gewählte Abkürzungen aufstellt, so ist er auch nicht im Stande, einen mehr als vorübergehenden Gebrauch davon zu machen und sie organisch in den Rahmen seiner Theorie einzufügen. Im zweiten Teile wird uns zunächst die Quaternion als Quotient verschieden gerichteter Vectoren vorgeführt. Man kann diese erste Untersuchung der Quaternionen als eine ausführliche Darstellung der Lehre vom Winkel in der Ebene und im Raume betrachten wobei auch die trigonometrischen Functionen in den Kreis der Betrachtung gezogen werden. Richtungs- und Längenverhältnis der Schenkel werden Anfangs durch denselben Quotienten dargestellt, während später diese Grössen durch vorgesetzte Buchstaben ausgedrückt werden. Um ein charakteristisches Beispiel dieser Schreibweise zu geben, so würden andere Autoren, um auszudrücken, dass die Strecke \(a\) das \(n\)-fache der Längeneinheit \(e\) ist, einfach schreiben \(ne = a\). Hamilton schreibt dafür \(Ta.Ua=a\), und nennt \(a\) einen Vector, \(Ta (n)\) den Tensor, und \(Ua (e)\) den Einheits-Vector von \(a\). Wir gelangen in diesem Teile auch zu dem wichtigsten und fruchtbarsten Begriff der Quaternionentheorie, nämlich zu dem der fundamentalen Einheiten \(i, j, k,\) sowie zu den zwischen diesen Einheiten geltenden Gesetzen und zur Darstellung der Quaternionen selbst durch diese Einheiten. Eine einfachere Form nehmen Quaternionen in derselben Ebene an. An die specielle Untersuchung dieser Ausdrücke schliesst sich die Lehre von den Potenzen, Wurzeln und Logarithmen der Quaternionen, worauf noch ein kurzer Abschnitt, über Quaternionen im Raume folgt und über die associative Eigenschaft ihrer Multiplication. Im dritten Teile wird dadurch dass in einem Streckenquotienten der Divisor als reciproker Wert einer anderen Strecke aufgetasst wird, der Begriff des Productes zweier Strecken gowonnen, und diese Multiplication als nicht comnmutativ, wohl aber distributiv nachgewiesen. Es folgen dann Producte mehrerer Vectoren, vierte Proportionalen, DarsteHung einer Quaternion als Product von Vectoren und am Schluss die Differentialrechnung der Quaternionen. Diese kurzen Angaben können natürlich nur den aHgemeinen Gang der DarsteHung verfolgen, aber auch nicht annähernd einen Begriff geben von dem ungemeinen Reichtum an Beziehungen und Resultaten die das Werk enthält. Leider ist das Studium, desselben mit ausserordentlichen Unbequemlichkeiten verbunden, welche die Geduld des Lesers auf's Aeusserste in Anspruch nehmen. Dieses Uebelstandes konnten nicht einmal die selbständigen Bearbeiter des Gegenstandes Herr werden, geschweige der Uebersetzer. Der Hauptvorwurf trifft die Methode der Bezeichnung. Der Gebrauch dcr grossen Buchstaben \(S, T, U, V, \) um Eigenschaften der dahinter stehenden, durch andere Buchstaben ausgedrückten Gebilde zu bezeichnen ist, gradezu unerträglich weil er dem I.eser beständig zumutet, Combinationen von zwei Zeichen als einfache Begriffe,noch dazu von heterogenster Art,zu deuten. In Folge dessen erscheinen Formeln mit ganz simplem lnhalt schon complicirt, und das Transformiren der Formeln,sowie die Deutung ihres lnhalts ist eine um so verdriesslichere Arbeit,weil man sich bewusst ist,dass die Schwierigkeit nicht in der Sache, sondern nur in der unzweckmäassigen Form liegt. Hierzu kommen noch Combinationen jener Buchstaben und eine Menge anderer vorübergehend eingeführter Zeichen und Abkürzungen. Els erheblicher innerer Mangel der Theorie und das Verständnis erschwerend erscheint ferner die Willkür in der Wahl und die Zusammenhangslosigkeit der abkürzenden Bezeichnungen, namentlich, wenn man das geschlossene und folgerichtige System Grassmann's damit vergleicht, dessen Hilfsmittel in dieser Art sich obendrein auf ein Minimun beschränken. Besser durchdacht ist die Terminologie,nur dass wenigsteos die Hälfte der eingeführten Ausdrücke vollstandig überflüssig ist, was der Autor selbst mitunter zwischen den Zeilen zugesteht. (Dabei sei gleich der Wunsch ausgesprochen, dass der zweite Band das so nötige vollstandige Register dieser Ausdrücke bringen möge). Diesen Uebelständen gegenüber verschwindet fast die Breite der Darstellung und der wenigstens in der ersten Hälfte des Bandes bemerkliche Mangel an Anwendungen, welche die Mühe des Studiums lohnen. Zum Glück hat Hamilton selbst eine vom Uebersetzer in dankenswerter Weise in der Vorrede mitgeteilte Anleitung dazu gegeben, welche Partien des Werkes beim ersten Studium ohne Nachteil überschlagen werden könen. Dennoch wird der deutsche Anfänger besser auf die Eingangs genannten Werke hinzuweisen sedin, als auf das Hamilotn'sche Originalwerk. Es muss überdies immer wieder betont werden, dass jeder Versuch, die Quaternionentheorie weiter zu vervollkommnen mit Notwendigkeit auf die Ausdehnungslehre hinführt. (Wenn z. B. Résal und Somoff den Ausdruck \(S\alpha \beta\) als ``geometrischen Product'' von \(\alpha\) und \(\beta\) auffassen, so ist dieses Product nichts anderes als das ``innere Product'' der Ausdehnunslehre). Soviel Aufhebens auch von der Quaternionentheorie im Auslande gemacht wird, in der Geschichte der Geometrie wird sie doch nur als vorübergehende Entwickelungsstufe des Calüls erscheinen, welcher in der Ausdehnungslehre seinen umfassenden und endgiltigen Abschluss und seine vollkommentste, weil sachgemässe Darstellung findet. Für uns Deutsche liegt daher, abgesehen von historischen Interesse, nur soweit eine Veranlassung vor, uns mit den Quaternionen bekannt zu machen, als es sich darum handelt, fremde Arbeiten auf diesem Gebiede zu verstehen. Jedenfalls aber müssen wird dem Herrn Uerbersetzer dankbar sein für den grossen Aufwand an mühevoller Arbeit, womit er das Hamilton'sche Originalwerk in Deutschland eingeführt hat. Steht doch zu hoffen, dass solche Bestrebungen allmälig die Zahl jener altertümlichen Mathematiker verringern werden, welche jede Arbeit, in der \(ab\) nicht gleich \(ba\) ist, grundsätzlich perhorresciren.
scientific article; zbMATH DE number 2705713