Ueber diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Ueber diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein.
zbMATH Open document ID: 13.0578.01
author: H. von Mangoldt
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1881-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/148471
review text: In Jacobi's ``Vorlesungen über Dynamik'', herausgegeben von Clebsch, findet sich zuerst der Hinweis auf das verschiedene Verhalten der von einem Punkte ausgehenden geodätischen Linien auf verschiedenen Flächen, je nachdem dieselben sich noch einmal schneiden, oder nicht. Nur wenn sie sich nicht wieder schneiden, hören sie für keinen auf ihnen genommenen Endpunkt auf, Kürzeste im wahren Sinne des Wortes zu sein. Später ist von Christoffel u. A. bewiesen, dass auf negativ gekrümmten Flächen zwei unendlich nahe geodätische von einem Punkt ausgehende Linien sich nicht wieder schneiden können. Den Beweis des Herrn Christoffel reproducirt der Herr Verfasser, ebenso den elementareren, welcher sich in dem Lehrbuch der theoretischen Physik von Thomson und Tait (I. 234) angedeutet findet. Derselbe geht davon aus, dass auf einem einfach zusammenhängenden Flächenstück die Winkelsumme eines geodätischen \(n\)-Ecks gleich \((2n-4) \;R+C\) ist, wo \(C\) die curvatura integra des Polygons nach Hauss bezeichnet. Mithin ist diese Winkelsumme eines geodätischen Zweiecks gleich \(C\). Da dieselbe aber nicht negativ sein kann, so giebt es geodätische Zweiecke nur auf positiv gekrümmten Flächen, oder auf solchen, welche teils positiv, teils negativ gekrümmt sind. Dagegen giebt es keine auf negativ gekrümmten Flächen, sofern sie nicht mehrfach zusammenhängend sind, wie z. B. das einschalige Hyperboloid, und da zwei unendlich nahe geodätische Linien stets auf einem einfach zusammenhängenden Flächenstück verlaufend gedacht werden können, so schneiden sich unendlich nahe von einem Punkte ausgehende geodätische Linien auf negativ gekrümmten Flächen nie. Die Hauptaufgabe, welche sich der Herr Verfasser gestellt hat, ist nun die Untersuchung des Verhaltens positiver Flächen und zwar einfach zusammenhängender. Es ergeben sich dabei folgende Resultate: ``Man kann auf jeder positiv gekrümmten Fläche zwei Arten von Punkten unterscheiden. Punkte erster Art sind so beschaffen, dass zwei von ihnen aus…
zbMATH DE Number: 2707174
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description: scientific article; zbMATH DE number 2707174