Essay on the fundamental principles of geometry and mechanics.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Essay on the fundamental principles of geometry and mechanics.
zbMATH Open document ID: 11.0354.01
publication date: 1879-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/204406
review text: Das erste Capitel dieser Arbeit enthält eine eingehende Untersuchung der Axiome, welche zur Begründung der Riemann'schen (``doppelt abstracten''), Gauss'schen (``abstracten'') und Euklidischen Geometrie nothwendig und hinreichend sind. Der Verfasser stellt drei Axiome auf und zeigt, dass jedes darselben unbewaisbar ist. 1) Der Abstand zweier Punkte \(A\) und \(B\) variirt stetig, wenn \(A\) nach \(B\) sich bewegt. Und wenn neben einem Punktsystem \(A, B, C\ldots\) ein Punkt \(B'\) so gegeben ist, dass \(AB=AB'\), so giebt es Punkte, \(C', D',\ldots\), die so beschaffen sind, dass \(BC=B'C'\) etc. (Dieses Axiom ist also gleichbedeutend mit folgendem: Der Raum hat überall stetigen Zusammenhang und jedes Gebilde kann sich ohne Deformation überall frei in ihm bewegen). Den Abstand zweier Punkte im Raume definirt der Verfasser als eine Function ihrer 6 Coordinaten \[ (x_1y_1z_1)\quad(x_2y_2z_2), \] und er unterscheidet \(a\)) den idealen Abstand, welcher jeder beliebigen Function der Coordinaten entspricht, \(b\)) den analytischen Abstand, welcher den Forderungen der ersten Axioms genügt, \(c\)) den physischen Abstand (im Efrahrungsraume). Der analytische Abstand \(F_{12}\) kann nur eine von folgenden drei Formen haben: \[ \begin{aligned} & F_{12}=\root\of{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}, \\ & F_{12}=\frac A\pi \text{arc}{\mathfrak Cof} \frac{1-a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2}{\root\of{(1-a_1^2-b_1^2-c_1^2) (1-a_2^2-b_2^2-c_2^2)}}. \end{aligned} \] (Hierin ist \(A\) eine Constante, \[ a_1={\mathfrak Tg}\frac{\pi x_1}{A},\quad a_2={\mathfrak Tg}\frac{\pi x_2}{A},\quad b_1={\mathfrak Tg}\frac{\pi y_1}{A}\;\text{etc}., \] und alle Functionen sind hyperboliche). Die dritte Form unterscheidet sich von der zweiten nur dadurch, dass an die Stelle von \(A\) eine andere Constante \(D\) tritt, dass alle Vorzeihen rechts positiv und alle Functionen cyklische sind. Das erste Axiom gilt in allen drei Geometrien, aber die drei Arten des analytischen Abstandes entsprechen der Reihe nach der …
Mathematics Subject Classification ID: 03B30
Mathematics Subject Classification ID: 51-XX
zbMATH DE Number: 2709774
zbMATH Keywords: Axiomatics of geometry
author: J. de Tilly
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2709774