On determination and investigation of group and irrationality of regular Riemann surfaces.
Die Riemann'sche Fläche tritt unter zwei verschiedenen Gesichtspunkten in functionentheoretischen Betrachtungen auf. Sie dient entweder zur anschauungsmässigen Deutung gewisser Untersuchungen, die sich auf die Functionen einer complexen Veränderlichen beziehen, und erscheint dann von vorn herein definirt durch eine Gleichung \(f(\eta ,\; z)=0\) [in der \(\eta\) die abhängige, \(z\) die unabhängige Variable bedeuten möge] oder sie ist durch geometrische Annahmen fertig gegeben und bildet nun umgekehrt den Ausgangspunkt functionentheoretischer Fragestellungen. Die letztere Beziehung ist es, nach welcher die Riemann'sche Fläche in den Arbeiten von F. Klein vorzugsweise eingeführt ist (man sehe die Arbeiten von Klein in Clebsch Ann. IX. bis. XV. und namentlich eine binnen Kurzem erscheinende Schrift ``Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Functionen und ihrer Integtrale.'' Leipzig, Teubner 1882), und in welcher sie auch der hier zu besprechenden Abhandlung zu Grunde liegt. Die Riemann'sche Fläche ist zunächst in der Form der ``frei im Raume gelegenen Riemann'schen Fläche'' (vergl. Ann. XIV. 134) verwendet, d. h. sie erscheint als Gebietseintheilung einer geschlossenen Fläche vom Geschlechte \(p\). Die einzelnen Gebiete entsprechen den Blättern einer über der \(z\)-Ebene ausgebreiteten Riemann'schen Fläche in der gewöhnlichen Vorstellungsweise. Dabei ist in dieser letzteren der besseren Uebersicht wegen noch eine Trennung in Halbblätter vorgenommen durch einen Absonderungsschnitt, der in der \(z\)-Ebene durch alle Verzweigungsstellen gelegt ist und der jedes der darüber ausgebreiteten Blätter in einen ``schraffirten'' und einen ``nichtschraffirten'' Theil spaltet. Diese Spaltung überträgt sich auf die frei im Raume gelegene Fläche der Art, dass diese jetzt in abwechselnd schraffirte und nichtschraffirte Polygone getheilt erscheint. Den Verzweigungspunkten der über der \(z\)-Ebene ausgebreiteten Fläche entsprechen die Eckpunkte der Gebietseintheilung, in welchen die einzelnen Polygone nach Art und Multiplicität der betreffenden Verzweigung zusammenstossen. Es handelt sich nun um die specielle von Klein (Clebsch Ann. XIV. 460 ff.) eingeführte Classe der regulären Riemann'schen Flächen, welche den Galois'schen Resolveten \(f(\eta ,z)=0\) (mit einem Parameter) entsprechen. Dem Umstande gemäss, dass jede Wurzel \(\eta_i\) einer solchen Resolvente sich rational durch jede andere \(\eta_k\) und (dazu auch) den Parameter \(z\) darstellt, ist die zugehörige Riemann'sche Fläche dadurch charakterisirt, dass jedes der \(N\) Blätter dieser Fläche (\(N\) der Grad der Gleichung in \(\eta\)) genau so verzweigt ist, wie jedes andere Blatt, mit anderen Worten, dass die zugehörige Gebietseintheilung der frei im Raume gelegenen Fläche für jedes schraffirte (nichtschraffirte) Polygon dieselbe ist, wie für jedes andere schraffirte (nichtschraffirte) Polygon. Die Gruppe der \(N\) Transformationen, durch welche eine Galois'sche Resolvente in sich übergeht (indem wir eine Wurzel \(\eta_i\) der Gleichung jeder anderen Wurzel \(\eta_k\) zuweisen) spricht sich geometrisch in einer Gruppe von Transformationen der Fläche in sich aus, vermöge deren ein schraffirtes Polygon in jedes andere schraffirte Polygon der Gebietseintheilung übergeführt wird. Ist nun eine reguläre Riemann'sche Fläche in geometrischer Definition durch Angabe der Verzweigung und Art der Zusammenschliessung der einzelnen Blätter vollständig gegeben [die Construction regulärer Riemann'scher Flächen aus den Daten der Blätterzahl und Verzweigung hat der Verfasser im ersten Theile seiner Inaugural-Dissertation (``Ueber regulär verzweigte Riemann'sche Flächen etc.'' München 1879) behandelt, für welche die vorliegende Arbeit eine Weiterführung bildet], so fragt es sich: Wie lässt sich aus der geometrischen Definition der Fläche heraus die Gruppe \(G\) ihrer Trnsformationen in sich und weiter die Irrationalität \(J\), welche der Fläche zukommt, erkennen? Es ist also die Zerlegung der Gruppe \(G\) in eine Reihenfolge von Untergruppen \(G_1,\; G_2\ldots G_n\), deren jede mit den Substitutionen der unmittelbar vorhergehenden Untergruppe vertauschbar ist, aus der geometrischen Definition der Gruppe zu erscliessen, und weiter die Reihe von ``einfachen'' Gruppen \(H_1,\; H_2\ldots H_n\), durch deren successive Adjunction grade die Zerlegung der Gruppe \(G\) erreicht wird. Diese Zerlegung wird geometrisch durch eine Reihenfolge von Deformationen der ursprünglichen Fläche geleistet, in welcher jeweils die Gruppen \(G_i\) und \(H_i\) wieder in Gestalt regulärer Riemann'scher Flächen erscheinen, und in welcher auch die gegenseitige Stellung dieser Gruppen, wie man sie nach allgemeinen gruppentheoretischen Gesichtspunkten unterscheidet, sich ausspricht. Setzt man nun die ``einfachen'' Irrationalitäten, welche den Flächen \(H_i\) entsprechen, als bekannt voraus (und diese sind für die behandelten Beispiele blosse Wurzelirrationalitäten), so liegt in der geometrischen Deformation der Fläche der bestimmt vorgezeichnete Weg, wie wir jene einfachen Irrationalitäten zur Irrationalität der Gesammtfläche zu verbinden haben, so dass unter dieser Voraussetzung eine Gleichung \(f(\eta , z)=0\), welche jener Fläche zukommt, in fertiger Form sich aufstellen lässt. Eine 96-blättrige Fläche vom Geschlechte 3 dient als Beispiel der allgemeinen Formulirungen. Daran schliesst sich die Behandlung der regulären Flächen vom Geschlechte 1, welche sich durch das Transformationsproblem der elliptischen Functionen erledigt. Die Aufzählung der hierher gehörigen Flächen ist jedoch unvollständig. Die geometrische Definition der regulären Riemann'schen Flächen (wie sie in dieser Arbeit p. 477-478, und auch in der schon erwähnten Inauguraldissertation Theil I. p. 17 zu Grunde gelegt ist), geht von der beschränkenden Voraussetzung aus, dass die Flächen regulär-symetrische sind, d. h. dass die oben angeführte Polygoneintheilung für die schraffirten und für die nicht schraffirten Polygone eine (im Sinne der analysis situs) symmetrische ist. Dies ist indess, wenn man von der Definition der regulären Riemann'schen Fläche als Galois'schen Resolvente \(f(\eta ,z)=0\) ausgeht, durchaus nicht nothwendig. Der Verfasser hat diese Beschränkung in ihrer gruppentheoretischen Bedeutung in einer demnächst erscheinenden Arbeit (Gruppentheoretische Studien. Clebsch Ann. XX.) ausführlich erörtert. Die algebraische Bedeutung ist von Herrn Klein in der schon erwähnten Schrift (``Ueber Riemann's Theorie etc.'' \(\S\) 21) durch die Bemerkung gekennzeichnet, dass sich überhaupt alle Flächen, welche Symmetrie besitzen, als Gleichungen \(f(\eta ,z)=0\) mit reellen Coefficienten darstellen lassen. Während diese beschränkte Auffasung der regulären Riemann'schen Flächen auf die allgemeinen Erörterungen ohne Einfluss geblieben ist (weil hier keinerlei Gebrauch von Eigenschaften der Symmetrie gemacht ist), erscheinen in der Tabelle der Flächen \(p=1\) nur die regulär-symmetrischen Flächen; auf reguläre Flächen \(p=1\), die nicht symmetrisch sind, ist der Verfasser in der erwähnten Arbeit in Clebsch Ann. XX. eingegangen.
scientific article; zbMATH DE number 2708216