Lectures on the doubly periodic functions given in 1847.
Eine der letzten Arbeiten des verstorbenen, um die mathematische Wissenschaft und ihre Verbreitung hochverdienten C. W. Borchardt ist die vorliegende Veröffentlichung der berühmten, zwar schon länger bekannten, aber nie in authentischer Fassung mitgetheilten Theorie von Liouville, welche letzterer im Jahre 1847 Borchardt und Joachimstahl vorgetragen hatte. Die einzige Abweichung von der Liouville'schen Fassung bildet der Beweis des Fundamentaltheorems, dass eine doppelt-periodische Function, die niemals unendlich wird, unmöglich ist, welcher von Borchardt durch den Beweis eines allgemeineren Theorems ersetzt ist. Die von Borchardt aufgestellte Inhaltsübersicht lautet: \[ \text{Première partie. Théorie générale.} \] 1) Une fonction doublement périodique qui ne devient jamais infinie est impossible. 2) Une fonction doublement périodique à un seul infini est impossible. 3) Fonctions doublement périodiques à deux infinis. Leurs propriétés fondamentales. 4) Fonctions doublement périodiques à plusieurs infinis. Leur développement en sommes et en produits de fonctions doublement périodiques à deux infinis. 5) Fonctions à un nombre pair d'infinis. Leur développement en produits de fonctions doublement périodiques à trois infinis. 6) Développement des fonctions doublement périodiques en fractions de la forme \(\frac {M+N.\varphi '(z)}L,\;\varphi (z)\) représentant une fonction doublement périodique à deux infinis, \(\varphi '(z)\) son quotient différentiel et \(L,\; M,\; N\), des fonctions entières de \(\varphi (z)\). \[ \text{Seconde partie. Applications.} \] 7) Détermination du quotient différentiel des fonctions doublement périodiques à deux infinis. Théorème de l'addition pour les mêmes fonctions. Cas particulier du sinus amplitudinis. 8) Transformation du sinus amplitudinis. Expressions en forme d'une somme et d'un produit. 9) Transformation inverse du sinus amplitudinis. Formule d'Abel. Formule de Jacobi.
scientific article; zbMATH DE number 2708270