On the elastic vibrations of an isotropic sphere
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the elastic vibrations of an isotropic sphere
zbMATH Open document ID: 11.0723.01
author: P. Jaerisch
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1879-01-01T00:00:00Z
review text: Der Verfasser äussert seine Ansichten über die bezüglichen Arbeiten von Lamé, Clebsch und Henneberg. Er geht von den Gleichungen aus (sie mögen mit (\(A\)) bezeichnet werden), welche Lamé für die Schwingungen einer isotropen, elastischen Kugel gegeben hat. Damit ist für das Problem vorausgesetzt, dass die etwa vorhandenen äusseren Kräfte von der Zeit unabhängig sind. Ferner werden die Oberflächenbedingungen (\(B\)) hergestellt. Bezeichnet man mit \(\omega_1^2\) und \(\omega_2^2\) die Verhältnisse der beiden Elasticitätsconstanten zur Dichtigkeit, so kann das Gleichungssystem \((A)\) in zwei Systeme \((A_1)\) und \((A_2)\) zerlegt werden; \((A_1)\) giebt den Theil der Componenten der Verrückung, welcher allein von \(\omega_1\), und \((A_2)\) den anderen Theil, welcher nur von \(\omega_2\) abhängt. \((A_1)\) repräsentirt longitudinale, \((A_2)\) transversale Schwingungen. Das Problem zerfällt somit in drei: Man hat zu bestimmen: 1) ein Werthsystem \(u_1, v_1, w_1\), welches den Gleichungen \((A_1)\) und \((B)\) genügt, 2) ein Werthsystem \(u_2, v_2, w_2,\) welches die Gleichungen \((A_2)\) und \((B)\) erfüllt, 3) ein Werthsystem \(u= u_1 +u_2, \; v= v_1 +v_2 , \; w=w_1 +w_2,\) so dass \(u_1, v_1, w_1\) den Gleichungen \((A_1), u_2, v_2, w_2\) den Gleichungen \((A_2)\) und \(u_1 +u_2, \; v_1 +v_2, \; w_1 +w_2\) den Gleichungen \((B)\) genügen. Das erste Werthsystem liefert reine Longitudinalschwingungen, das zweite reine Transversalschwingungen und das dritte entspricht coexistirenden longitudinalen und transversalen Schwingungen. Von sechs speciellen möglichen Werthsystemen von \(u_1, v_1, w_1\) genügt nur eins allen Anforderungen, nämlich \(u_1, v_1=w_1=0.\) Bei reinen Longitudinalschwingungen bewegt sich daher jedes Kugeltheilchen nur in der Richtung des Radius und die auf derselben Kugelfläche liegenden Theilchen erleiden die gleiche Verrückung. Als Knotenflächen treten Kugelflächen auf, und die Schwingungszahlen hängen von beiden Elasticitätsconstanten ab. Für die…
Mathematics Subject Classification ID: 74H45
zbMATH DE Number: 2710372
zbMATH Keywords: transversal
zbMATH Keywords: longitudinal elastic vibrations
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2710372