Ueber die Transformation der elliptischen Functionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Ueber die Transformation der elliptischen Functionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades.
zbMATH Open document ID: 10.0069.01
DOI: 10.1007/BF02297507
author: Felix Klein
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1879-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/156824
review text: Bedeutet \(f(x)\) die im Differential des elliptischen Integrals auftretende, biquadratische, binäre Form; sind \(g_2,\,g_3\) ihre Invarianten; ist \(\varDelta\) ihre Discriminante; \(\sigma\) eins der Doppelverhältnisse der Wurzeln von \(f=0\), so wird \(J=g_2^3:\varDelta\) als absolute Invariante und \(\omega=\omega_1:\omega_2\), das Verhältniss der Perioden als transcendente Invariante eingeführt und die Aufgabe gestellt, dass Functionalverhältniss von \(\omega\) und \(J\) zu untersuchen. Die Riemann'sche Fläche, welche \(\omega\) auf \(\sigma(=\varkappa^2)\) abbilden würde, wäre unendlich vielblättrig; sie zerfällt in unendlich viele, aus Kreisbogen gebildete Dreiecke, deren jeder einer Halbebene für \(\sigma\) entspricht. Da ferner \[ J =\frac{4}{27} \frac{(1-\sigma+\sigma^2)^3}{\sigma^2 \cdot(1-\sigma)^2} \] ist, so erhält man sofort auch die entsprechende conforme Abbildung von \(J\) auf \(\omega\). Die Dreiecke stossen in Punkte \(\omega\) zusammen, welche den Werthen \(J=0,1, \infty\) angehören und zwar bezüglich in je \(6,4,\infty\) solcher Dreiecke, d. h. in je \(3,2,\infty\) der Gesammtebenen von \(J\). Hieraus erkennt man gleichzeitig, wann bei der Substitution \[ \omega' =\frac{\alpha\omega +\beta}{\gamma\omega +\delta},\quad (\alpha\delta -\beta\gamma=1) \] Elemente fest bleiben können: bei elliptischen Substitutionen, d. h. solchen mit conjugirt imaginären fest bleibenden Elementen ist \[ J=0(g_2=0) \quad \text{oder} \quad J=1(g_1=0); \] bei parabolischen, d. h. reell zusammenfallenden fest bleibenden Elementen ist \(J=\infty\), \(\varDelta=0\), \(\omega\) beliebig rational; bei hyperbolischen d. h. reell verschiedenen fest bleibenden Elementen ist die Periode unendlich gross und niemals rational. Ist \(\varphi(J',J_x)=0\) die Gleichung, welche die absoluten Invarianten zweier elliptischer Integrale mit eineander verbindet, die durch eine Primzahltransformation \(n^{\text{ter}}\) Ordnung aus einander hervorgehen, und setzt man das Geschlecht von \(\v…
zbMATH DE Number: 2710725
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2043666504
description: scientific article; zbMATH DE number 2710725