Approximation of a linear expression by two polynomials.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Approximation of a linear expression by two polynomials.
zbMATH Open document ID: 09.0146.02
publication date: 1877-01-01T00:00:00Z
review text: In dem Briefe an Braschmann (Liouville J. (2) 10) hat der Verfasser ein Verfahren angegeben, durch welches zwei Polynome \(X, Y\), bei denen der Ausdruck \(uX-Y\) möglichst wenig von einer gegebenen Function \(v\) abweicht, gefunden werden können. Dazu ist es nöthig, die Function \(u\) in einen Kettenbruch \[ q_0=\frac{1}{q_1+}_{\tfrac{1}{q_2+}_{\cdots}} \] zu entwickeln und die Näherungsbrüche \[ \frac{P_1}{Q_1}=\frac{q_0}{1},\;\frac{P_2}{Q_2}=\frac{q_1q_0+1}{q_1}, \cdots\text{etc}. \] zu bilden; sodann werden die gesuchten Polynome \(X, Y\) durch folgende Reihen dargestellt \[ (1)\quad \left\{\begin{aligned} & X=\omega_1Q_1+\omega_2Q_2+\omega_3Q_3+\cdots \\ & Y=-Ev+\omega_1P_1+\omega_2P_2+\omega_3P_3+\cdots, \end{aligned}\right. \] wo \[ \omega_i=(-1)^{i-1}E(q_iF(vQ_i)) \] ist, und die Zeihen \(E\) und \(F\) den ganzen Theil und den Bruch-Theil einer Function bezeichnen. Für den Beweis sehe man die Abhandlung des Verfassers im 9. Bande der Abhandlungen der St. Petersb. Academie der Wissenschaften (Russisch) unter dem Titel: ``Ueber die Entwickelung der Functionen in Reihen mit Hülfe der Kettenbrüche.'' Bricht man die Reihen (1.) an den correspondirenden Gliedern \(\omega_mQ_m, \omega_mP_m\) ab, so erhält man ein System zweier Polynome \(X, Y\) von denen das erste einen nicht höheren Grad als \(Q_{m+1}\) besitzt und der Grad der Differenz \(uX-Y-v\) erreicht dann den kleinsten Werth, den er nur haben kann bei der oben aufgestellten Grenze für den Grad des Polynoms \(X\). Soll nun der Ausdruck \(uX-Y\), wo der Grad von \(X\) nicht grösser als \(M\) ist, die Function \(v\) bis auf Glieder von der \((-N)^{\text{ten}}\) Ordnung darstellen, so sind dazu folgende Bedingungen nothwendig und hinreichend: \[ (3)\quad \left\{\begin{aligned} & \omega_{m+1}=0,\;\omega_{m+2}=0,\dots\;\omega_{m+n-1}=0 \\ & \delta\omega_m\leqq\delta\frac{x^M}{Q_m},\;\delta\omega_{m+n}\leqq\delta\frac{Q_{m+n-1}}{x^N}, \end{aligned}\right. \] wo dass Zeihen \(\delta\varphi\) den Grad der Function \…
Mathematics Subject Classification ID: 41A20
Mathematics Subject Classification ID: 11J70
zbMATH DE Number: 2712388
zbMATH Keywords: Polynomial approximation
zbMATH Keywords: Linear expression
zbMATH Keywords: Inhomogeneous approximation
MaRDI profile type: Publication
author: Pafnuty Chebyshev
description: scientific article; zbMATH DE number 2712388