On a function related to the Bessel functions.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On a function related to the Bessel functions.
zbMATH Open document ID: 08.0311.01
DOI: 10.1007/BF01443342
author: E. von Lommel
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1875-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/156705
review text: Der Herr Verfasser untersucht den Zusammenhang zwischen den beiden Bessel'schen Functionen erster und zweiter Art \(J_{(z)}^{n}\) und \(Y_{(z)}^{n}\), welche der Bessel'schen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^{2}y}{\partial z^2} + \frac{1}{z} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} + \left( 1 - \frac{u^2}{z^2} \right) y = 0 \] Genüge leisten, und der von Herrn C. Neumann eingeführten Function \(O_{(z)}^{n}\). Diese letztere ist eine rationale ganze Function von \(\frac{1}{z}\) vom \((n + 1)^{\text{ten}}\) Grade und genügt für ein grades \(n\) der Differentialgleichung \[ \frac{\partial^{2}O^{n}}{\partial z^2} + \frac 3z \cdot \frac{\partial O^n}{\partial z} + \left( 1 - \frac{n^2 - 1}{z^2} \right) O^n = \frac 1z, \] für ein ungrades \(n\) aber der Gleichung \[ \frac{\partial^{2}O^n}{\partial z^2} + \frac{3}{z} \cdot \frac{\partial O^{n}}{\partial z} + \left( 1 - \frac{n^2 - 1}{z^2} \right) O^{n} = \frac{n}{z^2} \] als particuläres Integral. Als Resultat der Untersuchung ergiebt sich, dass diese Function \(O\) ein specieller Fall einer viel allgemeineren Function ist, welche die Form hat: \[ S_{(z)}^{\mu, \nu} = \frac{\pi}{2\sin \nu \pi} \left( J_{(z)}^{\nu} \int z^{\mu} J_{(z)}^{-\nu} \cdot dz - J_{(z)}^{-\nu} \int z^{\mu} J_{(z)}^{\nu} dz\right) \] oder \[ S_{(z)}^{\mu, n} = Y_{(z)}^{n} \int z^{\mu}J_{(z)}^n dz - J_{(z)}^{n} \int z^{\mu} Y_{(z)}^{n} dz. \] Es wird nämlich \[ O_{(z)}^{2m} = \frac{1}{z} \cdot S_{(z)}^{1,2m} \] und \[ O_{(z)}^{2m + 1} = \frac{2m + 1}{z} \cdot S_{(z)}^{0,2 m+1}; \] und der Zusammenhang der Function \(O\) mit den Bessel'schen Functionen erster un zweiter Art findet seinen Ausdruck in den Gleichungen: \[ O^{2m} = \frac{1}{z} \left( Y^{2m} \int z J^{2m} dz - J^{2m} \int z Y^{2m} dz\right), \] \[ O^{2m + 1} = \frac{2m + 1}{z} \left( Y^{2m + 1} \int J^{2m + 1} dz - J^{2m + 1} \int Y^{2m + 1} dz\right). \]
Mathematics Subject Classification ID: 33C10
zbMATH DE Number: 2714128
zbMATH Keywords: Bessel functions
Wikidata QID: Q56452764
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2714128