The Fourier series and integrals for cylinder functions.
type: Item
instance of: scholarly article
title: The Fourier series and integrals for cylinder functions.
zbMATH Open document ID: 07.0301.02
DOI: 10.1007/BF02106597
author: Hermann Hankel
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1875-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/156684
review text: Diese beiden Abhandlungen, die aus dem Nachlasse des der Wissenschaft so früh entrissenen verdienstvollen Mathematikers hier veröffentlicht werden, stammen bereits aus dem Jahre 1869. In der ersteren wird eine Reihe von meist neuen bestimmten Integralen behandelt, in denen Cylinderfunctionen (Bessel'sche Functionen) erster und zweiter Art, \(J^n (x)\) und \(Y^n (x)\) erscheinen (siehe des Verfassers Abhandlung Clebsch Ann. I. 467, F. d. M. II. 257, JFM 02.0257.02). Die betrachteten Integrale haben die Form \[ \int_{-\infty}^{+\infty} x^{n+h} \frac{Y^n (ax) - \pi i J^n (ax)}{(x^2 - r^2)^{m+1}} dx \] und \[ \int_{-\infty}^{+\infty} x^{q+1} J^p (\xi x) \frac{Y^n (ax) - \pi i J^n (ax)}{(x^2 - r^2)^{m+1}} dx. \] Nach denselben Principien wie diese, können auch Integrale von der Form \[ \int_{-\infty}^{+\infty} x^h e^{axi} \frac{J^n (\xi x)}{(x^2 - r^2)^m} dx \] behandelt werden. Zum Schluss der ersten Abhandlung werden einige Integrale erwähnt, in denen Producte von \(J\)-Functionen mit Potenzen und Exponentialgrössen vorkommen, und welche sich nicht mit den Hülfsmitteln der Integration auf complexen Wegen bestimmen lassen, wohl aber und sehr einfach durch die Substitution der Reihenentwickelung für \(J^n (x)\). Die einfachsten derselben sind diejenigen, die Herr H. Weber (Borchardt J. LXIX. 232) theils unter Anwendung eines besonderen Hülfssatzes, theils durch Doppelintegrale gewonnen hat. In der zweiten Abhandlung geht der Verfasser aus von den in den meisten, auf einen axial-symmetrischen Zustand bezüglichen, mathematisch-physikalischen Problemen auftretenden Reihen \[ f(x) = \sum_k A_k J^{\circ} (kx), \] wo \(k\) die sämmtlichen Wurzeln der transcendenten Gleichung \(J^{\circ} (ka) = 0\) sind, die schon von Fourier (Théorie de la chaleur, p. 356) angewandt sind, und von den allgemeineren Reihen \[ f(x) = \sum_k A_n J^n (kx), \] wo \(n\) eine beliebige constante ganze Zahl ist und \(k\) die Wurzeln der Gleichung \(J^n (ka) = 0\) sind. Es entsprechen diese letzteren En…
Mathematics Subject Classification ID: 33C10
zbMATH DE Number: 2715484
zbMATH Keywords: Cylinder functions. Bessel functions
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2715484