Essay on the \(n\) dimensional geometry.
Referent muss sich darauf beschränken, ein kurzes Inhaltsverzeichniss der einzelnen Abschnitte dieser umfangreichen Abhandlung anzugeben. Der ausgesprochene Zweck derselben ist, eine Theorie der linearen Funktionen von mehr als 3 Variabeln (Coordinaten) in den Grundzügen zu entwickeln, und zwar die hauptsächlichen Formeln und Resultate aus der Theorie der Ebene und geraden Linie in dem Raume mit 3 Dimensionen in entsprechender Weise für eine beliebige Anzahl von Variabeln zu verallgemeinern. Diese zunächst algebraischen Operationen finden ihre geometrische Deutung in dem Raume mit \(n\) Dimansionen. In diesem Raume wird die Lage eines Punktes durch \(n\) Coordinaten \(x_1, x_2, \ldots x_n\) fixirt. Eine lineare Gleichung zwischen den \(n\) Coordinaten definirt eine Ebene, oder vielmehr ein der Ebene im gewöhnlichen Raume entsprechendes Gebilde; zwei simultane lineare Gleichungen bestimmen eine Zweiebene (biplan), \(k\) Gleichungen bedeuten eine k-Vielebene (k-plan, multiplan). Zur Bestimmung einer Geraden gehögen \(n-1\) Gleichungen. Schläffli bezeichnet im Borchardt'schen Journal LXV. 187 ein System von \(n-r\) linearen und homogenen Gleichungen zwischen den \(n\) Coordinaten; als die Gesammtheit aller Lösungen oder Punkte des Systems aufgefasst, mit \((\infty^{r})\) und nennt dasselbe ein lineares Continuum von \(r\) Dimensionen. Nach einzelnen Vorbemerkungen werden im ersten Abschnitte der vorliegenden Abhandlung die verschiedenen Grade der Parallelität unter zwei Vielebenen untersucht, worauf im zweiten die Bedingungen für die Perpendikularität folgen, und im dritten die Formeln für die Transformation der Coordinaten entwickelt sind. Die beiden folgenden Abschnitte beschäftigen sich mit den von der Wahl der Axen unabhängigen Beziehungen zwischen 2 Vielebenen. Als die wichtigsten Resultate hebt der Verfasser selbst folgende hervor: 1. Ein System zweier Vielebenen, von einer \(k\)-Vielebene \(P_{k}\) und einer \(l\)-Vielebene \(P_{l}\), welche durch denselben Punkt des Raumes hindurchgehen, gebildet, besitzt \(\varrho\) von eineander verschiedenen Invarianten; \(\varrho\) ist dabei die kleinste der Zahlen \(k, l, n-k, n-l\). Diese Invarianten kann man zur Definition der Winkel zwischen den beiden Vielebenen verwerthen. 2. Die verschiedenen zu \(P_{k}\) und \(P_{l}\) perpendikulären Ebenen bestimmen als ihre Schnittgebilde eine \((n-k)\)-Vielebene \(P_{n-k}\) und eine \((n-l)\)-Vielebene \(P_{n-l}\), welche unter sich dieselben Winkel bilden, wie die zwischen \(P_{k}\) und \(P_{l}\). 3. Wenn \(P_{k}\) und \(P_{l}\) keinen gemeinsamen Punkt haben, so existirt eine Invariante mehr, welche die kürzeste Entfernung der beiden Gebilde von einander misst. Der \(6^{\text{te}}\) Abschnitt erledigt die trigonometrischen Beziehungen zwischen den Vielebenen und \(n\) Ebenen, welche als die Coordinatenebenen gewählt sind, Formeln, welche für \(n=3\) in die Grundgleichungen der sphärischen Trigonometrie übergehen. Im \(7^{\text{ten}}\) Abschnitte endlich entwickelt der Verfasser die Grundlagen für die Kinematik in dem Raume von \(n\) Dimensionen. Für die Bewegung eines starren Körpers ergeben sich die Verallgemeinerungen der bekannten Theoreme: Jede Bewegung in einer Ebene reducirt sich auf Rotation um einen Punkt; jede Bewegung im Raume ist eine helicoidale. Auch der schon von Schläffli im \(56^{\text{ten}}\) Bande den Borchardt'schen Journals (Ueber invariante Elemente einer orthogonalen Substitution, S. 185) für \(2n - 1\) Dimensionen erweiterte Euler'sche Satz, dass jede Bewegung eines starren Körpers um einen Punkt auf eine Rotation um eine Axe zurückgeführt werden könne, befindet sich unter den Resultaten dieses Abschnitts.
scientific article; zbMATH DE number 2715818