On limit values of integrals.
Es handelt sich um approximative Bestimmung eines Integrals \[ \int_0^a f(x)dx \quad (fx\text{ positiv}), \] wenn in irgend einem weiteren Intervalle \[ \int_0^A f(x)dx, \quad \int_0^A xf(x)dx, \quad \int^A x^2f(x)dx, \] nicht aber \(f(x)\), gegeben sind. Sind z. B. die Länge, das Gewicht, der Schwerpunkt und das Trägheitsmoment einer nicht homogenen Geraden bekannt, so wird gefragt, zwischen welchen Grenzen dann das Gewicht eines Stückes der Geraden enthalten sein muss. Die Lösung wird nicht ausgeführt, sondern nur angedeutet. Sie beruht auf der Entwickelung von \[ \int_A^B \frac{f(x)dx}{z-x} \] in einen Kettenbruch \[ \frac{1}{\alpha z+\beta+ \frac{1}{\alpha_1z+ \beta_1+\cdots}}. \] Ist hier \(\frac {\varphi(z)}{\psi'(z)}\) einer aus der Reihe der Näherungsbrüche, und \(z_1,\cdots z_l,z_{l+1},\cdots z_n,\cdots z_m\) die nach ihrer Grösse geordneten Wurzeln der Gleichung \(\psi(z)=0\), so ist der Werth von \[ \int_{z_l}^{z_n} f(x)dx \] enthalten zwischen \[ \sum_{k=l+1}^{k=n-1} \frac{\varphi(z_k)} {\psi'(z_k)} \quad\text{und}\quad \sum_{k=l}^{k=n} \frac{\varphi(z_k)} {\psi'(z_k)} \] d. i. grösser als erstere, kleiner als letztere Grösse.
scientific article; zbMATH DE number 2716680