On limit values of integrals.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On limit values of integrals.
zbMATH Open document ID: 06.0180.02
published in: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 2. Série
publication date: 1874-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/233961
review text: Es handelt sich um approximative Bestimmung eines Integrals \[ \int_0^a f(x)dx \quad (fx\text{ positiv}), \] wenn in irgend einem weiteren Intervalle \[ \int_0^A f(x)dx, \quad \int_0^A xf(x)dx, \quad \int^A x^2f(x)dx, \] nicht aber \(f(x)\), gegeben sind. Sind z. B. die Länge, das Gewicht, der Schwerpunkt und das Trägheitsmoment einer nicht homogenen Geraden bekannt, so wird gefragt, zwischen welchen Grenzen dann das Gewicht eines Stückes der Geraden enthalten sein muss. Die Lösung wird nicht ausgeführt, sondern nur angedeutet. Sie beruht auf der Entwickelung von \[ \int_A^B \frac{f(x)dx}{z-x} \] in einen Kettenbruch \[ \frac{1}{\alpha z+\beta+ \frac{1}{\alpha_1z+ \beta_1+\cdots}}. \] Ist hier \(\frac {\varphi(z)}{\psi'(z)}\) einer aus der Reihe der Näherungsbrüche, und \(z_1,\cdots z_l,z_{l+1},\cdots z_n,\cdots z_m\) die nach ihrer Grösse geordneten Wurzeln der Gleichung \(\psi(z)=0\), so ist der Werth von \[ \int_{z_l}^{z_n} f(x)dx \] enthalten zwischen \[ \sum_{k=l+1}^{k=n-1} \frac{\varphi(z_k)} {\psi'(z_k)} \quad\text{und}\quad \sum_{k=l}^{k=n} \frac{\varphi(z_k)} {\psi'(z_k)} \] d. i. grösser als erstere, kleiner als letztere Grösse.
Mathematics Subject Classification ID: 26A42
Mathematics Subject Classification ID: 65D30
zbMATH DE Number: 2716680
zbMATH Keywords: approximate integration
MaRDI profile type: Publication
author: Pafnuty Chebyshev
description: scientific article; zbMATH DE number 2716680