On quadrature formulas.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On quadrature formulas.
zbMATH Open document ID: 06.0182.01
published in: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 2. Série
publication date: 1874-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/234749
review text: Es wird die Aufgabe gelöst, das folgende Integral in der Form \[ \int_{-1}^1 F(x)\varphi(x)\partial x=k[\varphi(x_1)+ \varphi(x_2)+\cdots \varphi(x_n)]+R \] der Art approximativ darzustellen, dass \(k,x_1,x_2,\cdots x_n\) unabhängig von der Function \(\varphi\) dem kleinsten möglichen Werthe von \(R\) entsprechend bestimmt werden, eine Aufgabe, die von Hermite für \(F(x)= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) gelöst war. Die Möglichkeit wird vorausgesetzt und bleibt unbewiesen, indem die Gesuchten nur aus der Annahme \[ \varphi(x)= \frac{1}{z-x} \] berechnet werden so, dass \(R\) in der Entwickelung nach absteigenden Potenzen von \(z\) nur niedere als \((-n-1)\)te Potenzen enthält. Setzt man \[ f(z)= (z-x_1)(z-x_2)\cdots (z-x_n), \] woraus \[ \varphi(x_1)+ \varphi(x_2)+\cdots \varphi(x_n)= \frac{f'(z)}{f(z)}, \] so ergiebt sich für \(z=\infty\) sogleich: \[ k=\frac{1}{n} \int_{-1}^1 F(x)\partial x \] und durch Integration der Urgleichung nach \(z\): \[ \int_{-1}^1 F(x)\log(z-x)\partial x=k\log\frac{f(x)}{C}+R_1,\tag{2} \] wo \(R_1=\int_\infty R\partial z\) nur niedere als \((-n)\)te Potenzen enthält, so dass es auf Bestimmung der ganzen Function \(n\)ten Grades \(f(z)\) ohne Einfluss ist. Demnach ist \(f(z)\) die in der Entwickelung von \[ Ce^{\frac{1}{k}\int_{-1}^{+1} F(x)\log(z-x)dx} \tag{3} \] nach absteigenden Potenzen von \(z\) enthaltene ganze Function. Setzt man diese \(=0\), so erhält man als Wurzeln der Gleichung die Grössen \(x_1,x_2,\cdots x_n\). Für \(F(x)= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) findet man hieraus leicht: \[ k=\frac{\pi}{n}; \quad f(z)=\text{ganzer Theil von }\Biggl(\frac {z+\sqrt{1-z^2}}{2}\Biggr)^n= \frac{\cos(n\arccos z)}{2^{n-1}} \] übereinstimmend mit Hermite. Für \(F(x)=1\) wird \[ k=\frac{2}{n}; \quad f(z)=\text{g. Th. v. }(z+1)^{\frac{n(z+1)}{2}} (z+1)^{-\frac{n(z-1)}{2}} \] in der Entwickelung identisch mit \[ z^ne^{-\frac{n}{2.3z^2}- \frac{n}{4.5z^4}- \frac{n}{6.7z^6}-\cdots} \] Hieraus sind die Werthe berechnet für \(-x_h= x_{n-h+1}\): \[ \begin{matrix}…
Mathematics Subject Classification ID: 26A42
Mathematics Subject Classification ID: 65D30
zbMATH DE Number: 2716682
zbMATH Keywords: Approximate integration
MaRDI profile type: Publication
author: Pafnuty Chebyshev
description: scientific article; zbMATH DE number 2716682