The elements of the theory of the functions.
type: Item
instance of: scholarly article
title: The elements of the theory of the functions.
zbMATH Open document ID: 04.0187.01
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1872-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/148175
review text: Der Herr Verfasser beabsichtigt, gewisse elementare Sätze, auf denen Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen die Functionentheorie aufbaut, die aber bisher von diesem selbst noch nicht veröffentlicht worden sind, hier im Zusammenhange zu entwickeln. Diese wichtigen Fundamentalsätze gelten für die von Hrn. Heine im ersten Abschnitt zu Grunde gelegte Definition der irrationalen Zahlen. In diesem Abschnitte geht der Herr Verfasser aus von dem Begriff der Zahlenreihe: ``Zahlenreihe heisst eine Reihe von Zahlen \(a_1, a_2,\dots a_n \cdots\), wenn für jede noch so klein gegebene von Null verschiedene Zahl \(\eta\) ein Werth \(n\) existirt, der bewirkt, dass \(a_n-a_{n+\nu}\) für alle ganzen positiven \(\nu\) unter \(\eta\) liegt.'' Die Zahl wird nicht begrifflich definirt, die irrationalen Zahlen werden nicht etwa als Grenzen eingeführt (deren Existenz eine Voraussetzung wäre), sondern die Definition der Zahl ist eine rein formale, indem ``gewisse greifbare Zeichen'' Zahlen genannt werden. Diese Zahlzeichen müssen so gewählt werden, dass die Definition der Rechnungsoperationen -- auf welche es hier hauptsächlich ankommt -- ermöglicht wird. Da z. B. die Zahlen \(0, 1, 2, 3\dots\) in vielen Fällen die Subtraction unmöglich machen, so müssen neue Zeichen oder Zahlen eingeführt werden, und es muss die Definition der Operationen so erweitert werden, dass das Resultat dasselbe bleibt, wie bei der früheren Rechnungsoperation. Ferner veranlasst die Unmöglichkeit der Division zweier Zahlen in dem Falle, wo der Quotient nicht eine ganze Zahl ist, wiederun: neue Zeichen, u. s. f. Den irrationalen Zahlen kommt bei dieser Definition eine wirkliche Existenz zu. Zwei Zahlen werden gleich genannt, wenn sie sich um keine noch so kleine angebbare Zahl unterscheiden. Mit dieser auf rein formalem Standpunkt gewonnenen Definition hat Herr Heine schon seit Jahren seine Vorlesungen über algebraische Analysis eingeleitet. Wie dagegen Hr. Weierstrass, der die allgemeine Theorie der complexen Zahle…
Mathematics Subject Classification ID: 26A15
zbMATH DE Number: 2719067
zbMATH Keywords: continuity in euclidean spaces
zbMATH Keywords: real numbers
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1980050860
DOI: 10.1515/CRLL.1872.74.172
author: Eduard Heine
description: scientific article; zbMATH DE number 2719067