The elements of the theory of the functions.
Der Herr Verfasser beabsichtigt, gewisse elementare Sätze, auf denen Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen die Functionentheorie aufbaut, die aber bisher von diesem selbst noch nicht veröffentlicht worden sind, hier im Zusammenhange zu entwickeln. Diese wichtigen Fundamentalsätze gelten für die von Hrn. Heine im ersten Abschnitt zu Grunde gelegte Definition der irrationalen Zahlen. In diesem Abschnitte geht der Herr Verfasser aus von dem Begriff der Zahlenreihe: ``Zahlenreihe heisst eine Reihe von Zahlen \(a_1, a_2,\dots a_n \cdots\), wenn für jede noch so klein gegebene von Null verschiedene Zahl \(\eta\) ein Werth \(n\) existirt, der bewirkt, dass \(a_n-a_{n+\nu}\) für alle ganzen positiven \(\nu\) unter \(\eta\) liegt.'' Die Zahl wird nicht begrifflich definirt, die irrationalen Zahlen werden nicht etwa als Grenzen eingeführt (deren Existenz eine Voraussetzung wäre), sondern die Definition der Zahl ist eine rein formale, indem ``gewisse greifbare Zeichen'' Zahlen genannt werden. Diese Zahlzeichen müssen so gewählt werden, dass die Definition der Rechnungsoperationen -- auf welche es hier hauptsächlich ankommt -- ermöglicht wird. Da z. B. die Zahlen \(0, 1, 2, 3\dots\) in vielen Fällen die Subtraction unmöglich machen, so müssen neue Zeichen oder Zahlen eingeführt werden, und es muss die Definition der Operationen so erweitert werden, dass das Resultat dasselbe bleibt, wie bei der früheren Rechnungsoperation. Ferner veranlasst die Unmöglichkeit der Division zweier Zahlen in dem Falle, wo der Quotient nicht eine ganze Zahl ist, wiederun: neue Zeichen, u. s. f. Den irrationalen Zahlen kommt bei dieser Definition eine wirkliche Existenz zu. Zwei Zahlen werden gleich genannt, wenn sie sich um keine noch so kleine angebbare Zahl unterscheiden. Mit dieser auf rein formalem Standpunkt gewonnenen Definition hat Herr Heine schon seit Jahren seine Vorlesungen über algebraische Analysis eingeleitet. Wie dagegen Hr. Weierstrass, der die allgemeine Theorie der complexen Zahlen zum Abschluss geführt hat, die Rechnungsoperationen für die im engeren Sinne complexen Zahlen streng begründet, hat inzwischen Herr Kossak ausführlich und im engen Auschluss an die Vorlesungen des Hernn Weierstrass über analytische Functionen gezeigt (Elemente der Arithmetik, siehe das vorige Referat). Im zweiten Abschnitt der vorliegenden Arbeit: ``Ueber Functionen'' definirt Herr Heine zunächst die einwerthige Function und beweist die beiden Sätze: ``Jede ganze Potenz von \(x\) ist eine einwerthige Function'', und ``Es sind \(\sin x\) und \(\cos x\) Functionen von \(x\)'' (\(\S\) 1). Der \(\S\) 2 handelt von den Bedingungen der Continuität einer Function \(f(x)\) bei einem bestimmten einzelnen Werthe \(x=X\), und der \(\S\) 3 von den Eigenschaften continuirlicher Functionen. Hier werden nach den Principien des Herrn Weierstrass folgende 6 Lehrsätze bewiesen: 1) Jede ganze Potenz von \(x\) ist zwischen irgend welchen gegebenen Grenzen gleichmässig continuirlich, d. h. für jede noch so kleine gegebene Grösse \(\varepsilon\) existirt eine solche positive Grösse \(\eta_0\), dass für alle positiven \(\eta\), die kleiner als \(\eta_0\) sind, \(f(x\pm\eta)-f(x)\) unter \(\varepsilon\) bleibt; 2) Besitzt eine (für jedes einzelne \(x\)) von \(a\) bis \(b\) continuirliche Function \(f(x)\) für zwei zwischen \(a\) und \(b\) liegende Zahlen \(x=x_1\) und \(x=x_2\) entgegengesetzte Vorzeichen, so verschwindet sie für einen dazwischen liegenden Werth von \(x\); 3) Eine Function \(f(x)\), die von \(x=a\) bis \(x=b\) so beschaffen ist, dass zwischen je zwei Zahlen \(x_1\) und \(x_2\), wie nahe sie auch gewählt werden, noch andere liegen, für welche \(f(x)\) verschiedene Zeichen besitzt, ist discontinuirlich; 4) Wenn die (für jedes einzelne \(x\)) von \(x=a\) bis \(x=b\) continuirliche Function \(f(x)\) von \(x=a\) bis \(x=b\) nie negativ, aber zwischen diesen Grenzen kleiner wird als jede angebbare Grösse, so ereicht sie auch den Werth Null; 5) Wenn die von \(x=a\) bis \(x=b\) (für alle einzelnen Werthe) continuirliche Function \(f(x)\) für jeden einzelnen Werth, der zwischen \(a\) und einer rationalen oder irrationalen Zahl \(X\) liegt,wo \(a<X<b\), wie nahe man auch \(X\) kommt, nicht positiv, über \(X\) hinaus aber positiv wird, so ist \(f(x)=0\); 6) Eine von \(x=a\) bis \(x=b\) (für alle einzelnen Werthe) continuirliche Function \(f(x)\) ist auch gleichmässig continuirlich.
scientific article; zbMATH DE number 2719067